求任意一个点到任意函数曲线或曲线方程（参数方程）上最近距离点的通用方法，含Matlab实现代码

一、问题提出

假如曲线外有一个点，如果这个曲线是直线，求这个点到直线的距离最近的点，则比较好求，直接作垂直线，再求交点即可。但是，如果这个曲线不是直线，而是一个任意弯曲的函数曲线甚至是一个参数方程形式的曲线，该如何求解呢？

二、解决方案

1、对于求一个点到任意函数曲线这种情况，我是通过搜索法实现的。设有函数曲线外有一个点 $(x_{0},y_{0})$ ，现在以 $x_{0}$ 为圆心，半径依次为 $x_{0}+0.1,x_{0}+0.2,x_{0}+0.3,...$ （半径线性递增或指数递增等）画圆，直到画出的圆能够与函数曲线相交。判断圆与曲线是否相交的方法如下：如画一个半径为 $x_{0}+0.1$ 的圆，则对应 $x$ 的范围为 $[x_{0}-0.1,x_{0}+0.1]$ ，通过对 $x$ 进行0.01的细分 $x_{0}-0.1,x_{0}-0.09,...,x_{0}+0.1$ ，求出每个细分点的 $(x,y)$ ，当出现细分点 $(x,y)$ 到 $(x_{0},y_{0})$ 的距离小于所画的半径时，则认为圆内已经含有最近的点了，此时的必有个细分点到 $(x_{0},y_{0})$ 的距离为最小，我们可以认为此细分点即是所求。下图形象的表示出了实现原理。

2、对于一个点到任意曲线方程最近点的方法，也可以通过搜索法实现。但是曲线方程与函数不同，函数是y关于x的函数，只需要通过搜索x即可找到最近点。但是曲线方程或者说参数方程，它的x,y都是关于第三个参数 $t$ 的函数，假如给定一个点 $(x_{0},y_{0})$ ，求它到曲线最近距离的点。此时提出两种方法。

第一种方法，总体仍然仿照上述函数曲线的方法进行搜索，直到找到最近的点。首先求解当曲线上点为 $x_{0}$ 或为 $y_{0}$ 时，参数t对应的值 $t_{0}$ ，然后以 $t_{0}$ 为起始点进行上下搜索，现在假设第一次设定搜索半径为0.1，通过对 $t_{0}$ 进行上下搜索，确定 $[x_{0}-0.1,x_{0}+0.1]$ 对应的 $t$ 的范围，然后仿照函数曲线的方法依次进行搜索即可。需要注意的是，所求 $x_{0}$ 或 $y_{0}$ 对应的 $t$ ，它们代表的是横向搜索或纵向搜索，假如求出的是两个或两个以上的 $t$ 值，则需要同时分别对所求的所有 $t$ 值使用上述方法搜索，哪个先圈到圆内，则是哪个点，如果有两个以上的t同时圈到圆内，则距离最近的那个点就是所求的点。这种方法实际上是有局限性的，局限性一，如果 $t$ 的取值范围不确定，而曲线方程本身所取到的x,y值被限定在了一定的范围内，假如此时 $(x_{0},y_{0})$ 距离曲线方程本身的点较远，这种方法就可能失效。局限性二，需要求求 $x_{0}$ 或 $y_{0}$ 对应的 $t$ 值，有的时候不是很好求解。

第二种方法是，假如已经知道距离 $(x_{0},y_{0})$ 最近的点所对应 $t$ 值的范围，则可以直接按一定精度细分 $t$ ，然后通过搜索法求距离最短的即可，该方法比较简单，不再赘述。

三、Matlab代码实现

求 $y=0.15x^{2}$ 函数曲线外一点(-1.0,-1.5)到函数曲线最短距离的点。按照第二节第一部分所述的方法，其Matlab实现代码如下：

clear;
clc
close all
K=0.15;
plan_x=-10:0.001:10;
plan_y=K*plan_x.*plan_x;
figure(1)
plot(plan_x,plan_y);real_loc_x=-1.0;
real_loc_y=-1.5;
cycles_count=1;
subdivision_scope=0.1;
subdivision_degree=0.01;
subdivision_x_value=0.0;
point_center_min_distance=99999.0;
point_center_x_min_value=0.0;
while point_center_min_distance>subdivision_scope*cycles_count       for subdivision_x_value=(real_loc_x-cycles_count*subdivision_scope):subdivision_degree:(real_loc_x+cycles_count*subdivision_scope);point_center_distance=sqrt((subdivision_x_value-real_loc_x)^2+(K*subdivision_x_value^2-real_loc_y)^2);if point_center_distance<point_center_min_distancepoint_center_min_distance=point_center_distance;point_center_x_min_value=subdivision_x_value;end                endcycles_count=cycles_count+1;
end
dis_min_xy_buf(1)=point_center_x_min_value;
dis_min_xy_buf(2)=K*dis_min_xy_buf(1)^2;
hold on
plot(dis_min_xy_buf(1),dis_min_xy_buf(2),'b.','MarkerSize',10);
plot(real_loc_x,real_loc_y,'r.','MarkerSize',10);

运行结果如下：

所得的结果为[-0.68,0.06936]，在 $x$ 为0.01的精度范围内是可信的。

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