欧拉法

首先先来介绍欧拉法，如果对于一条曲线，用Δ\DeltaΔttt来将线段划分成许多小段，那么我们就可以近似认为每一段的斜率都是常数，且对于第iii段的斜率表示为
dyidt=yi+1−yiΔt\frac{dy_{i}}{dt}=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{\Delta t} dtdyi=Δtyi+1−yi
以最为常见的一阶微分方程为例
dydt=a0y+f(t)\frac{dy}{dt}=a_{0}y+f(t) dtdy=a0y+f(t)
我们再利用欧拉法求解的时候需要第iii段的斜率，因此利用上式，带入(ti,yi)(t_{i},y_{i})(ti,yi)求得dyidt\frac{dy_{i}}{dt}dtdyi，综合可得
yi+1−yiΔt=a0yi+f(ti)\frac{y_{i+1}-y_{i}}{\Delta t}=a_{0}y_{i}+f(t_{i}) Δtyi+1−yi=a0yi+f(ti)
再变一下型
yi+1=(a0Δt+1)yi+f(ti)Δty_{i+1}=(a_{0}\Delta t+1)y_{i}+f(t_{i})\Delta t yi+1=(a0Δt+1)yi+f(ti)Δt
这就是欧拉法，其误差的大小取决于你Δ\DeltaΔttt选择的大小。

改进的欧拉法

首先计算出第iii个点的斜率
dyidt=a0yi+f(ti)\frac{dy_{i}}{dt}=a_{0}y_{i}+f(t_{i}) dtdyi=a0yi+f(ti)
然后再利用
yi+1=dyidtΔt+yiy_{i+1}=\frac{dy_{i}}{dt}\Delta t+y_{i} yi+1=dtdyiΔt+yi
求出第i+1i+1i+1个点处的斜率
dyi+1dt=a0yi+1+f(ti)\frac{dy_{i+1}}{dt}=a_{0}y_{i+1}+f(t_{i}) dtdyi+1=a0yi+1+f(ti)
这样我们在计算这一段时就会有两个斜率可以用，所以就取这两个斜率的平均值来作为这个线段的斜率
yi+1=yi+Δt2(dyi+1dt+dyidt)y_{i+1}=y_{i}+\frac{\Delta t}{2}(\frac{dy_{i+1}}{dt}+\frac{dy_{i}}{dt}) yi+1=yi+2Δt(dtdyi+1+dtdyi)

四阶龙格-库塔积分法

为了方便这里设si=f(yi,ti)=a0yi+f(ti)s_{i}=f(y_{i},t_{i})=a_{0}y_{i}+f(t_{i})si=f(yi,ti)=a0yi+f(ti)，那么先计算
si=f(yi,ti)s_{i}=f(y_{i},t_{i}) si=f(yi,ti)
再计算
si+1=f(yi+Δt2si,ti+Δt2)−−沿着si这个斜率向前走Δt2处的斜率s_{i+1}=f(y_{i}+\frac{\Delta t}{2}s_{i},t_{i}+\frac{\Delta t}{2})--沿着s_{i}这个斜率向前走\frac{\Delta t}{2}处的斜率 si+1=f(yi+2Δtsi,ti+2Δt)−−沿着si这个斜率向前走2Δt处的斜率
再计算
si+2=f(yi+Δt2si+1,ti+Δt2)s_{i+2}=f(y_{i}+\frac{\Delta t}{2}s_{i+1},t_{i}+\frac{\Delta t}{2}) si+2=f(yi+2Δtsi+1,ti+2Δt)
si+3=f(yi+Δtsi+2,ti+Δt)s_{i+3}=f(y_{i}+\Delta ts_{i+2},t_{i}+\Delta t) si+3=f(yi+Δtsi+2,ti+Δt)
得到这4个斜率后再用下式计算
yi+1=yi+Δt6(si+2si+1+2si+2+si+3)y_{i+1}=y_{i}+\frac{\Delta t}{6}(s_{i}+2s_{i+1}+2s_{i+2}+s_{i+3}) yi+1=yi+6Δt(si+2si+1+2si+2+si+3)
这种方法比前两种算法都来得精准，但是增加了计算量，以及计算程序变得复杂。

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