2017 ACM-ICPC 亚洲区（西安赛区）网络赛 F Trig Function（切比雪夫多项式）

题目链接：Trig Function
题意：求给定n后，问sin(nx)多项式中，x^m项的系数是多少。
思路：切比雪夫多项式，可以把cos(nx)展开为系数不为0的每一项的累加。如图：

注意”!!”不是阶乘的阶乘，而是不超过n且与n具有相同奇偶性的所有正整数连乘积。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<cstdlib>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 1e4+10;
ll fact[maxn] = {1};//factorial阶乘
void init(){for(int i = 1; i < maxn; i++){fact[i] = i*fact[i-1]%MOD;}
}
ll inverse(ll x,int q){ll ret = 1;while(q){if(q%2 == 1){ret = ret*x%MOD;}x = x*x%MOD;q /= 2;}return ret;
}
int main(){init();int n,m;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){if(m > n) puts("0");else if(n%2 == 1 && m%2 == 0 || n%2 == 0 && m%2 == 1){puts("0");}else{//应该留意的是，当n是偶数，m对应切比雪夫多项式中的2k//当n是奇数，m对应切比雪夫多项式中的2k-1,公式里对应的换为mif(m >= 1){/*求n*(n+m-2)!!/(n-m)!! 由于(n+m-2) >= (n-m),所以从(n-m+1) 遍历的 (n+m-1)*/ll fz = n%MOD;for(int i = n-m+1; i <= n+m-1; i++){if(i%2 == (n+m-2)%2){fz = fz*i%MOD;}}ll ans = fz*inverse(fact[m],MOD-2)%MOD;/*逆元：fz/fact[m]%MOD = fz*inverse(fact[m],mod-2);*/if((n-m)/2%2) ans = -ans;printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);}else{/*求(n+m-2)!!/(n-m)!! 由于(n+m-2) < (n-m),所以从(n+m-1) 遍历的 (n-m)*/ll fm = 1;for(int i = n+m-1; i <= n-m; i++){if(i%2 == (n+m-2)%2){fm = fm*i%MOD;}}ll ans = n%MOD*inverse(fact[m],MOD-2)%MOD*inverse(fm,MOD-2)%MOD;if((n-m)/2%2) ans = -ans;printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);}}}return 0;
}

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