智能驾驶LQR横向控制算法
1. 控制系统
这里我们先介绍常用的控制系统逻辑:
假设我们现在状态是x0,我们有状态方程 : (u为控制矩阵)
特别的,这里我们是对偏差建立方程,x是偏差的状态,优化的目的是x=0,针对我们通过一些假设可以得到详细的方程,这里我直接先给出其中,
详细的推导省略,可自行检索。
再假设有一个反馈控制器: 这里很重要,可以认为是当前的控制量是通过当前的状态量计算出来的。
通过这套方法,我们就能得到一个稳定的系统 :
当然这是基本的理论,再进一步,我们就会思考,通过这些控制量作为自变量,再设计一个代价函数,来优化这些控制量?
2. LQR控制算法
讲到这里就很自然引出LQR了,首先的问题代价函数是什么?一方面我们希望系统达到稳定状态,及偏差最小; 另一方面我们希望控制量较小,即付出较小的代价达到我们的目的。这里我直接给出:
其中x为状态量,u为控制量,Q为状态权重矩阵,R为控制权重矩阵。
特别的x和u中取值有正有负,所以需要平方和最小,在矩阵中没有平方,这里我们采用转置乘以本身的做法模拟矩阵的平方,如x^T*x 。这里状态量x和控制量u都是多维向量,上式计算的结果是一个标量。
其实我们可以把看作是的多维扩展表达式,这里我们需要Q为半正定,就是希望Q能起到a≥0的效果,R为正定矩阵就是希望矩阵R能够起到a>0的效果。
一般的我们认为状态量x为:横向偏差、横向变化率、角度偏差、角度变化率。Q为我们提前标定的对角矩阵,标定值对应以上不同维度的权重,也可以为非对角矩阵,考虑不同维度之间的相互关系。
控制向量u为:前轮转角、加速度。同样的R也为提前标定的对角矩阵。也可以考虑相互关系。
Q11选取较大的值,会让x1很快到0;另外一方面,加大R的值,会使得对应的控制量减小,控制器执行更少的动作,意味着系统的状态衰减将变慢。所以要综合看具体的实际应用场景来调节,鱼和熊掌不可兼得。建议在不同场景下采用不同的参数。
3. 公式求解
假设有一个线性系统能用状态向量的形式表示成:
( 1 )
其中 ,初始条件是. 并且假设这个系统的所有状态变量都是可测量到的。
在介绍LQR前,先简单回顾一下现代控制理论中最基本的控制器--全状态反馈控制。
全状态反馈控制系统图形如下:
我们要设计一个状态反馈控制器
使得闭环系统能够满足我们期望的性能。我们把这种控制代入之前的系统状态方程得到
( 2 )
对于(1)式的开环系统,由现代控制理论我们知道开环传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。(传递函数的分母是|sI -A|,|·|表示行列式)
现在变成了(2)的闭环形式,状态变换矩阵A变成了(A-BK)。因此通过配置反馈矩阵K,可以使得闭环系统的极点达到我们期望的状态。注意,这种控制器的设计与输出矩阵C,D没有关系。
那么,什么样的极点会使得系统性能很棒呢?并且,当系统变量很多的时候,即使设计好了极点,矩阵K也不好计算。
于是,LQR为我们设计最优控制器提供了一种思路。
在设计LQR控制器前,我们得设计一个能量函数,最优的控制轨迹应该使得该能量函数最小。一般选取如下形式的能量函数。
,其中Q是你自己设计的半正定矩阵,R为正定矩阵。
可是,为什么能量函数(或称系统的目标函数)得设计成这个样子呢?
首先假设状态向量x(t)是1维的,那么其实就是一个平方项 Qx^2 >= 0,同理. 能量函数J要最小,那么状态向量x(t),u(t)都得小。J最小,那肯定是个有界的函数,我们能推断当t趋于无穷时,状态向量x(t)将趋于0,这也保证了闭环系统的稳定性。那输入u(t)要小是什么意思呢?它意味着我们用最小的控制代价得到最优的控制。譬如控制电机,输入PWM小,将节省能量。
再来看看矩阵Q,R的选取,一般来说,Q值选得大意味着,要使得J小,那x(t)需要更小,也就是意味着闭环系统的矩阵(A-BK)的特征值处于S平面左边更远的地方,这样状态x(t)就以更快的速度衰减到0。
另一方面,大的R表示更加关注输入变量u(t),u(t)的减小,意味着状态衰减将变慢。同时,Q为半正定矩阵意味着他的特征值非负,R为正定矩阵意味着它的特征值为正数。如果你选择Q,R都是对角矩阵的话,那么Q的对角元素为正数,允许出现几个0.R的对角元素只能是正数。
注意LQR调节器是将状态调节到0,这与轨迹跟踪不同,轨迹跟踪是使得系统误差为0.
知道了背景后,那如何设计反馈矩阵K使得能量函数J最小呢?很多地方都是从最大值原理,Hamilton函数推导出来。这里用另外一种更容易接受的方式推导。
将u = -Kx 代入之前的能量函数得到:
( 3 )
为了找到K,我们先不防假设存在一个常量矩阵P使得:
(4)
代入(3)式得:
(5)
注意,我们已经假设闭环系统是稳定的,也就是t趋于无穷时,x(t)趋于0.
现在把(4)式左边的微分展开,并把状态变量x的微分用(2)式替代得到:
这个式子要始终成立的话,括号里的项必须恒等于0.
这是一个关于K的二次型等式,当然这个二次型是我们不愿看到的,因为计算复杂。现在只要这个等式成立,我们何必不选择K使得两个二次项正好约掉了呢?这样既符合了要求,又简化了计算。
取 代入上式得:
(6)
K的二次项没有了,可K的取值和P有关,而P是我们假设的一个量,P只要使得的(6)式成立就行了。而(6)式在现代控制理论中极其重要,它就是有名的Riccati 方程。
现在回过头总结下LQR控制器是怎么计算反馈矩阵K的:
1.选择参数矩阵Q,R
2.求解Riccati 方程得到矩阵P
3.计算
再看看LQR的结构图:
实际应用中,为了消除稳态误差,LQR中还需要加入前馈控制。详细内容可查看:智能驾驶车辆横向控制算法_ChenGuiGan的博客-CSDN博客_自动驾驶横向控制
4. MPC与LQR比较
首先,LQR的研究对象是现代控制理论中的状态空间方程给出的线性系统,而MPC的研究对象可以是线性系统,也可以是非线性系统。不过现在很多的做法都是将非线性系统线性化,然后进行相关计算,具体要根据自己的工程情况来确定哪种方式比较好,比如之前做MPC的时候,线控车底层速度控制接口就是加速度,那就没必要根据IMU再套嵌个一层PID。
其次,既然是优化问题,那就离不开目标函数的设计,LQR的目标函数在上面已经有描述,MPC的目标函数,多数都是多个优化目标乘以不同权重然后求和的方式。虽然方式不同,不过都是对达到控制目标的代价累计。
最后,工作时域上的不同,LQR的计算针对同一工作时域,在一个控制周期内,LQR只计算一次,并将此次计算出的最优解下发给控制器即可;而MPC是滚动优化的,计算未来一段时间内,每个采样周期都会经过计算,得出一组控制序列,但是只将第一个控制值下发给控制器。
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原文链接:https://blog.csdn.net/zhouyy858/article/details/107606500
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