矩阵理论期末判断题汇总

1. A+ [X] B+ = (A [X] B)+，其中，+表示MP广义逆,[X]表示Kronecker积；

正确，见学习指导P111

2. det(A [X] B) = det(A)det(B)

错误，见书上1.9节，一般选错误选项都是这个；

3. 若A是正规矩阵，则A+是正规矩阵

正确，教材P203 定理4-(1)

4. 若A是正规矩阵，则A的特征值为A的奇异值

错误，Ax=λx, A^(H)Ax=λA^(H)x=λ(λ*)x=|λ|^(2)x, 故A的特征值为λ，奇异值为sqrt(|\lambda^(2)|)=|λ|

5. 若A是正规矩阵，则A的不同特征值对应的特征向量正交；

正确，教材P105定理

6. 若A^(2)=A,且A=BC，则CB=E；

错误，例如A=B=C=[1,0;0,0]

6. 若A^(2)=A,且A=BC是A的满秩分解(A≠0)，则CB=E；

正确; BCBC=BC, 其中B为列满秩，C为行满秩，故B有左逆 $B_{L}^{-1}$ ,C有右逆 $C_{R}^{-1}$ ,分别左乘、右乘，即可得到CB=E

7. rank(AB)=rank(A), 则R(AB)=R(A)

正确，维数相等且包含；

8. AB=AC 等价 A^(+)AB=A^(+)AC

正确；必要性左乘A+; 充分性左乘A,AB=AA^(+)AB=AA^(+)AC=AC

9. r(A)为A的谱半径，则r(A)<=||A||_{m\inf}

错误，矩阵范数必须收敛。范例A=[0,1;1,1],r(A)=1.618

10. 若r(E-A)<1，则A可逆；若A不可逆，则r(E-A)>=1

正确；设(1-λ)为(E-A)的特征值,故|(1-λ)E-(E-A)|=0,则|λE-A|,故λ为A的特征值。因此，若r(E-A)<1,则(1-λ)<1,λ>0,对任意λ均成立，故A可逆；逆否命题成立。

常用于证明||A-B||>=1/||A^(-1)||; (A+B)可逆等

11. det(AB)=det(A)det(B);tr(AB)=tr(BA)

正确；线代基础，常常用到

12. $||A||_{F}^{2}=\Sigma_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}$ (矩阵A的矩阵2范数平方等于n个奇异值的和)

错误，因为由奇异值的定义知，i>n时奇异值无定义

13. 设G为矩阵A∈C_{r}^{m*n}的广义逆A^{-},A=BD为A的最大秩分解，则rank(DGB)=r;

正确；BDGBD=AGA=A=BD,故DGB=Er,rank(DGB)=r

注

期末时间紧(人懒)，所以没写公式~

教材：黄廷祝《矩阵理论》

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