扩展欧几里得算法思想及模板代码

题目背景

裴蜀定理：
裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数aaa、bbb和它们的最大公约数ddd，关于未知数xxx和yyy的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若aaa,bbb是整数,且gcd(a,b)=dgcd(a,b)=dgcd(a,b)=d，那么对于任意的整数xxx,yyy,ax+byax+byax+by都一定是ddd的倍数，特别地，一定存在整数xxx,yyy，使ax+by=dax+by=dax+by=d成立。

裴蜀定理证明：

现要求用扩展欧几里得方法，对每两个正整数a，b

思路

模板代码

//题目背景：AcWing 877
#include<iostream>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  //扩展欧几里得算法
{if(!b)  //递归边界，b为0了{x=1,y=0;  //这个时候最大公约数是a，很容易想到x=1，y=0这个组合return;   //一定要记得return掉，这时候递归终结了}exgcd(b,a%b,x,y); //没到边界，继续往下递归int t=x;     //接用下层递归的结果，根据上面的推导，更新下当前层的最新x，y值x=y;y=t-a/b*y;
}
int main()
{int n,a,b,x,y;scanf("%d",&n);while(n--){scanf("%d%d",&a,&b);exgcd(a,b,x,y);printf("%d %d\n",x,y);}return 0;
}
}

应用：求解线性同余方程

为什么最后的结果要%m\%m%m?
题目中要求“输出答案必须在int范围之内”，而算到的x可能会溢出，根据(a×x)%m=(a×(x%m))%m(a\times x) \% m = (a \times (x \% m)) \% m(a×x)%m=(a×(x%m))%m，所以保险起见输出为x%mx \% mx%m

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  //扩展欧几里得算法
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int ans=exgcd(b,a%b,x,y);int t=x;x=y;y=t-a/b*y;return ans;
}
int main()
{int n,a,b,m,x,y;scanf("%d",&n);while(n--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);int ans=exgcd(a,m,x,y);if(b%ans!=0) puts("impossible");   //如果b不能整除a和m的最大公因数，那么不存在else printf("%ld\n",(LL)x*b/ans%m);}              //这里用（LL）是为了防止x*b的中间结果溢出了return 0;      //这里%m是为了使结果留在int范围内，具体原因在上面
}

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