欧几里得算法和扩展欧几里得算法详解

欧几里得算法：

int gcd(int x,int y){if(y) return gcd(y,x%y);return x;
}

扩展欧几里得算法：

先说一个整体思路：
先求Ax+By=gcd(A,B);的一个解x，y
然后我们可以求他的通解
然后求Ax+By=C的通解

我们先看看怎么求Ax+By=gcd(A,B);的一个解x，y
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0)//递归出口{x = 1;y = 0;return;}int x1, y1;Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);x = y1;y = x1-(a/b)*y1;
}

上面已经列出找一个整数解的方法，我们接下来找通解

取另外一组解（x2，y2）
则ax1+by1=ax2+by2=gcd(a,b)
变形得a(x1-x2)=b(y1-y2)
假设gcd（a,b)=g
方程左右两边同时除以g
a’(x1-x2)=b’(y2-y1),a’=a/g,b’=b/g
此时a’和b’互为素数
因此x1-x2一定是b’的整数倍,设为kb’
因此若方程一组整数解为（x0，y0）
他的任意整数解都可写成
（x0+kb’,y0-ka’）
a’=a/gcd(a,b)
b’=b/gcd(a,b)

结论：在找到Ax+By = Gcd(A, B)的一组解x0,y0后，Ax+By = Gcd(A, B)的其他整数解满足：
x = x0 + B/Gcd(A, B) * t
y = y0 - A/Gcd(A, B) * t(其中t为任意整数)

明白了原始的Ax+By=gcd(A,B)情况，我们可以扩展到一般的情况，即

Ax+By=C

对于Ax+By=c的整数解，只需将Ax+By = Gcd(A, B)的每个解乘上 C/Gcd(A, B) 即可，
但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：
在找到Ax+By= Gcd(A, B)的一组解x0,y0后，可以
得到Ax+By = C的一组解x1 = x0*(C/Gcd(A,B)),y1 = y0*(C/Gcd(A,B))，Ax+By = C的其他整数解满足：
x = x1 + B/Gcd(A, B) * t
y = y1 - A/Gcd(A, B) * t(其中t为任意整数)
y就是Ax+By=C的所有整数解。

练习题目：

Now tell you two nonnegative integer a and b. Find the nonnegative integer X and integer Y to satisfy Xa + Yb = 1. If no such answer print “sorry” instead.
Input
The input contains multiple test cases.
Each case two nonnegative integer a,b (0< a, b< =2^31)
Output
output nonnegative integer X and integer Y, if there are more answers than the X smaller one will be choosed. If no answer put “sorry” instead.
Sample Input
77 51
10 44
34 79
Sample Output
2 -3
sorry
7 -3

分析与解答

代码参考：只有这个代码才是这个算法的真谛

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
using namespace std;long long gcd(long long a,long long b){if(!b) return a;return gcd(b,a%b);
}void exgcd(long long a,long long &x,long long b,long long  &y){if(!b){x=1;y=0;}else{exgcd(b,y,a%b,x);y-=x*(a/b);}
}
int main(){long long t,A,B,x,y;while(cin>>A>>B){if(gcd(A,B)!=1)cout<<"sorry"<<endl;else{exgcd(A,x,B,y);//已经得到了一个特解xywhile(x<0) {x+=B;y-=A;}//找最小的正整数解cout<<x<<' '<<y<<endl;}}return 0;
}