前言

长文预警！大量公式预警！

本文的写作灵感来自于一个经典问题：求将一个正整数拆分成若干正整数之和的方法数（仅顺序不同视为同一拆分）。关于这个问题的一个子问题：将一个正整数

个互不相同的正整数之和的方法数，可以利用母函数法来计算这个方法数

考虑函数

而

母函数的好处在于将拆分问题转化成了

此处做一个声明：

本文不尝试证明哥德巴赫猜想（或任何著名猜想），也不会给出所谓“证明”，因为我深知自己的能力几乎不可能解决这个问题。本文仅仅记录了一些相关的研究，纯属闭门造车之作，如有谬误，欢迎指出。另外，如果你曾看到过类似的结论，那一定是我“重造轮子”了，欢迎告知。

还有，转载请注明作者及出处（如果有的话）。

下面开始正文。

第1节

约定：本文会使用形如

的表达式，其中

是一个关于

的命题，

是一个关于

的表达式。它的含义是

取遍使

为真的一切值后

的和，如果不存在使

为真的

，那么这个表达式的值就是0.

定义1.1：

表示正整数

分解为两个素数之和的方法数。

定义1.2：

表示素数集合。

定义1.3：

.

定义1.4：

，即

的

变换。

考虑函数

根据以上思路，我们有：

第2节

定义2.1:

表示

的互异素因数个数。

定义2.2：

表示正整数

的素因数中指数不小于2的素因数的数量。

设

做莫比乌斯反演，我们有

设

1）若存在

2）若存在至少2个

3）若存在1个

4）若指数均为1，那么

综上，我们证明了：

反过来，其实我们也可以证明

对于前一部分，每一项的值必定是

对于后一部分，每一项的值必定是

综上，我们证明了

第3节

定义3.1：

表示正整数

和

的最大公因数。

定义3.2：形如

，其中

是一个命题的表达式称为谓词，当且仅当

为真时取值为1，否则取值都为0.

根据第2节的结论，我们可以重写

若对

根据几何级数的性质，很容易看出

下面主要研究

所以：

从而可以得到逆

当然，由于a是复数，而我们更倾向于写成实值函数，因此可以利用欧拉公式及三角函数将此函数表示为：

注意，

其中几个谓词中

这几个谓词都有解析表达式:

因此原式进一步化简：

综上所述，我们证明了以下表达式：

（求和中的k都是整数，以后不再说明）

第4节

根据第2节和第3节的结论，我们可以把

利用和差角公式，可以把求和中的三角函数写成不带相位的版本：

这种展开类似于傅里叶级数，但不尽相同，例如这些三角函数并没有相同的周期，也没有对原函数做周期延拓。这样展开的好处是保证了函数的连续性，但并不是最方便讨论的。事实上，保留一些谓词更有利于研究这个函数。

把非关键部分写成谓词形式（同时将定义域限制在了正整数）：

由于

做适当的拆分后有：

---

在这篇文章之前的版本中提到过一个猜想

用

注意到

---

需要注意的是，前面所使用的研究方法几乎没有使用素数的性质，素数的特性完全由

基于这种特点，我们可以很容易地对公式进行推广。事实上，令

结束语

本文中，我们给出并证明了哥德巴赫分拆函数的一个精确表达式：

其中，

在解析数论中，我们往往更希望得到一个渐进估计式而不是一个含有数论函数的精确表达式（除非这个精确表达式具有特殊的意义）。要根据这一表达式进行估计，主要就是估计下面两个函数的值：

我确信自己仍需要更深入的知识来对这两个函数进行估计，因为一旦得到了它们各自的估计式，就几乎可以证明（或证伪）哥德巴赫猜想。这是一个难度极大的问题，因此我们就在这里结束吧。

感谢阅读！

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悄悄更新一波：

对任意

上式可以继续变换为：