常见分布的期望方差矩母函数

伯努利分布 Bernoulli Distribution
f(x∣p)={px(1−p)1−xx=0,1,0otherwise.f(x|p)=\left\{ \begin{aligned} &p^x(1-p)^{1-x}&&x=0,1,\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣p)={px(1−p)1−x0x=0,1,otherwise.

E(X)=pVar(X)=p(1−p)ψ(t)=pet+1−pE(X)=p\\ Var(X)=p(1-p)\\ \psi(t)=pe^t+1-p E(X)=pVar(X)=p(1−p)ψ(t)=pet+1−p

二项分布 Binomial Distribution
f(x∣n,p)={(nx)px(1−p)n−xx=0,1,2,⋯,n,0otherwise.f(x|n,p)=\left\{ \begin{aligned} &\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}&&x=0,1,2,\cdots,n,\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣n,p)=⎩⎪⎨⎪⎧(xn)px(1−p)n−x0x=0,1,2,⋯,n,otherwise.

E(X)=npVar(X)=np(1−p)ψ(t)=(pet+1−p)nE(X)=np\\ Var(X)=np(1-p)\\ \psi(t)=(pe^t+1-p)^n E(X)=npVar(X)=np(1−p)ψ(t)=(pet+1−p)n

泊松分布 Poisson Distribution
f(x∣λ)={e−λλxx!x=0,1,2,⋯,0otherwise.f(x|\lambda)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}&&x=0,1,2,\cdots,\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣λ)=⎩⎪⎨⎪⎧x!e−λλx0x=0,1,2,⋯,otherwise.

E(X)=λVar(X)=λψ(t)=eλ(et−1)E(X)=\lambda\\ Var(X)=\lambda\\ \psi(t)=e^{\lambda(e^t-1)} E(X)=λVar(X)=λψ(t)=eλ(et−1)

正态分布 Normal Distribution
f(x∣n,p)=12πσexp⁡[−12(x−μσ)2]−∞<x<∞.f(x|n,p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2]\ \ \ \ -\infin<x<\infin. f(x∣n,p)=2πσ1exp[−21(σx−μ)2] −∞<x<∞.

E(X)=μVar(X)=σ2ψ(t)=exp⁡(μt+12σ2t2)E(X)=\mu\\ Var(X)=\sigma^2\\ \psi(t)=\exp(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2) E(X)=μVar(X)=σ2ψ(t)=exp(μt+21σ2t2)

伽马分布 Gamma Distribution
f(x∣α,β)={βαΓ(α)xα−1e−βxx>00otherwise.f(x|\alpha,\beta)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}&&x>0\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣α,β)=⎩⎪⎨⎪⎧Γ(α)βαxα−1e−βx0x>0otherwise.

E(X)=αβVar(X)=αβ2ψ(t)=(ββ−t)αt<βE(X)=\frac{\alpha}{\beta}\\ Var(X)=\frac{\alpha}{\beta^2}\\ \psi(t)=(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\ \ \ \ t<\beta E(X)=βαVar(X)=β2αψ(t)=(β−tβ)α t<β

指数分布 Exponential Distribution
f(x∣β)={βe−βxx>00otherwise.f(x|\beta)=\left\{ \begin{aligned} &\beta e^{-\beta x}&&x>0\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣β)={βe−βx0x>0otherwise.

E(X)=1βVar(X)=1β2ψ(t)=ββ−tt<βE(X)=\frac{1}{\beta}\\ Var(X)=\frac{1}{\beta^2}\\ \psi(t)=\frac{\beta}{\beta-t}\ \ \ \ t<\beta E(X)=β1Var(X)=β21ψ(t)=β−tβ t<β

贝塔分布 Beta Distribution
f(x∣α,β)={Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)xα−1(1−x)β−10<x<10otherwise.f(x|\alpha,\beta)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}&&0<x<1\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣α,β)=⎩⎪⎨⎪⎧Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−100<x<1otherwise.

E(X)=αα+βVar(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)ψ(t)=unknownE(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\\ Var(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\\ \psi(t)=\text{unknown} E(X)=α+βαVar(X)=(α+β)2(α+β+1)αβψ(t)=unknown

卡方分布 Chi-Square Distribution
f(x∣α,β)={12m2Γ(m2)xm2−1e−x2x>00otherwise.f(x|\alpha,\beta)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\Gamma(\frac{m}{2})}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}&&x>0\\ &0&&\text{otherwise.} \end{aligned} \right. f(x∣α,β)=⎩⎪⎨⎪⎧22mΓ(2m)1x2m−1e−2x0x>0otherwise.

E(X)=mVar(X)=2mψ(t)=(11−2t)m2t<12E(X)=m\\ Var(X)=2m\\ \psi(t)=(\frac{1}{1-2t})^\frac{m}{2}\ \ \ \ t<\frac{1}{2} E(X)=mVar(X)=2mψ(t)=(1−2t1)2m t<21

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