2.5 柱面 (1)

柱面的定义 过空间一条曲线C的每一点作平行直线，这些直线就构成一个柱面。曲线C称为柱面的准线，构成柱面的平行直线称为柱面的母线。

先来看母线平行于坐标轴的柱面。

（a）以xOy面上的曲线 y=f(x) (a≤x≤b)为准线，母线平行于 z 轴的柱面的方程为 y=f(x)，其参数方程为：
其作图基本格式为：

f:=x->f(x):
plot3d([u, f(u), v],u=a…b, v=c…d)；

例 2.5.1 作出以xOy面上的下列抛物线为准线，母线平行于 z 轴的柱面的图形。
解柱面的参数方程为：
输入以下命令：

f:=x->x^2:
plot3d([u,f(u),v],u=-2…2,v=0…3, scaling=constrained,
style=patch, lightmodel=light2, axes=normal);

输出图形（抛物柱面）：

（b）以yOz面上的曲线 z=f(y) (a≤y≤b)为准线，母线平行于 x 轴的柱面的方程为 z=f(y)，其参数方程为：
其作图基本格式为：

f:=y->f(y):
plot3d([v, u, f(u)],u=a…b, v=c…d)；

例 2.5.2 作出以yOz面上的下列曲线为准线，母线平行于 x 轴的柱面的图形。
解柱面的参数方程为：
输入以下命令：

f:=y->y^3:
plot3d([v, u, f(u)], u=-1…1, v=0…3, scaling=unconstrained,
style=patch, lightmodel=light3, axes=normal);

输出图形：

（c）以zOx面上的曲线 z=f(x) (a≤x≤b)为准线，母线平行于 y 轴的柱面的方程为 z=f(x)，其参数方程为：
其作图基本格式为：

f:=x->f(x):
plot3d(u, v, f(u)],u=a…b, v=c…d)；

例 2.5.3 作出以zOx面上的下列抛物线为准线，母线平行于 y 轴的柱面的图形。

解柱面的参数方程为：
输入以下命令：

f:=x->x^2:
plot3d([u, v, f(u)], u=-1…1, v=0…3, scaling=constrained,
style=patch, lightmodel=light3, axes=normal);

输出图形（抛物柱面）：
（d）以xOy面上的参数曲线 x=x(t)，y=y(t) (a≤t≤b) 为准线，母线平行于 z 轴的柱面的参数方程为：
其作图基本格式为：

x:=t->x(t): y:=t->y(t):
plot3d([x(t), y(t), v],t=a…b, v=c…d)；

例 2.5.4 作出以xOy面上的下列圆为准线，母线平行于 z 轴的柱面的图形。
解柱面的参数方程为：
输入以下命令：

x:=t->cos(t): y:=t->sin(t):
plot3d([x(t), y(t), v], t=0…2*Pi, v=0…3, scaling=constrained,
style=patch, lightmodel=light3, axes=boxed);

输出图形（圆柱面）：
（e）以zOx面上的参数曲线 x=x(t)，z=z(t) (a≤t≤b) 为准线，母线平行于 y 轴的柱面的参数方程为：
其作图基本格式为：

x:=t->x(t): z:=t->z(t):
plot3d([x(t), t, z(t)],t=a…b, v=c…d)；

例 2.5.5 作出以zOx面上的下列圆为准线，母线平行于 z 轴的柱面的图形。
解柱面的参数方程为：
输入以下命令:

x:=t->cos(t): z:=t->2 * sin(t):
plot3d([x(t), v, z(t)], t=0…2*Pi, v=0…3, scaling=constrained,
style=patch, lightmodel=light2, axes=frame);

输出图形(椭圆柱面)：
（f）以xOy面上的曲线 f(x,y)=0 为准线，母线平行于 z 轴的柱面的方程为 f(x,y)=0 。
可以用隐函数作图来作出曲面。其作图基本格式为：

with(plots):
implicitplot3d(f(x, y)=0, x=a…b, y=c…d, z=h…k);

例 2.5.6 作出以下方程表示的柱面的图形：
解输入以下命令：

with(plots):
implicitplot3d(x^ 2+y^2=1, x=-2…1.1, y=-1.1…1.1, z=-1…1,
lightmodel=light1, axes=frame, grid=[10,10,10],
style=patchnogrid, scaling=constrained);

输出图形(圆柱面)：
（g）以yOz面上的曲线 f(y,z)=0 为准线，母线平行于 x 轴的柱面的方程为 f(y,z)=0 .
可以用隐函数作图来作出曲面。其作图基本格式为：

with(plots):
implicitplot3d(f(y, z)=0, x=a…b, y=c…d, z=h…k);

例 2.5.7 作出以下方程的图形
解输入以下命令:

with(plots):
implicitplot3d(-y^ 2+z^2=1, x=-2…2, y=-3…3, z=-3…3,
scaling=constrained, style=patchcontour,
axes=frame, lightmodel=light4, grid=[30,30,30]);

输出图形（双曲柱面）：

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