漫步线性代数二十二——行列式性质
行列的性质比较多，不过幸运的是，每条性质都很容易理解，甚至用2×22\times 2的例子进行图解会更加容易，因此我们将用2×22\times 2的情况来证实这些定义，
det\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} =\begin{vmatrix} a&b\\c&c \end{vmatrix} =ad-bc
具有下面要介绍的所有性质。(注意对于行列式我们有两个符号表示，detA,|A|\det A,|A|)性质4-10可以从前面的几条推到出来，每条性质瓯都市前三条的推论。另外我们需要强调一下，这些规则任何大小的方阵上。
1、单位矩阵的行列式是1。
\det I=1\quad \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\quad \begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\quad \ldots
2、当两行进行交换时，行列式的符号发生变化。
\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}=cb-ad=-\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}
每个置换矩阵的行列式是detP=±1\det P=\pm 1，利用行交换，我们可以将PP变成单位矩阵，每次行交换改变一下行列式的符号，直到得到detI=1\det I=1为止。
3、行列式线性依赖于第一行。假设A,B,CA,B,C从第二行开始都是相等的，并且AA 的第一行是B,CB,C第一行的线性组合，那么根据这条规则：detA\det A是detB,detC\det B,\det C相同的线性组合。
线性组合牵涉到两个操作——向量加法和标量乘法，因此这个规则可以分成两部分：
\begin{vmatrix} a+a'&b+b'\\c&d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a'&b'\\c&d \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} ta&tb\\c&d \end{vmatrix}= t\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}
注意第一部分可不是det(B+C)=detB+detC\det(B+C)=\det B+\det C(这个命题是错的)，不可以将所有的行进行相加：只有第一行可以变化，两边给出的答案都是ad+a′d−bc−b′cad+a'd-bc-b'c。
第二部分可不是det(tA)=tdet(A)\det(tA)=t\det(A)(这个命题也是错的)，矩阵tAtA在每行都有一个因子tt(行列式应该乘以tnt^n)，这就像一个盒子的体积，当所右边都扩大4倍时，在nn维体积中行列式扩大4n4^n倍。如果只有一边扩大，那么体积和行列式扩大4倍。
4、如果AA有两行相等，那么detA=0\det A=0。
\begin{vmatrix} a&b\\a&b \end{vmatrix} =ab-ba=0
这个可以从2求出，因为交换两行后行列式换号，但是数值不变。只有零满足这个要求，所以detA=0\det A=0(在布尔代数中，1=-1，所以这个推理就不正确了，由此得出，4应该代替2作为定义性质之一)。
5、一行减去另一行的倍数后行列式不变。
\begin{vmatrix} a-\ell c&b-\ell d\\c&d \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}
根据3，应该有一项
-\ell\begin{vmatrix} c&d\\c&d \end{vmatrix}
但是根据4，这一项为零。也就是说通常的消元步骤不影响行列式！
6、如果AA存在零行，那么detA=0\det A=0。
\begin{vmatrix} 0&0\\c&d \end{vmatrix} =0
一种证明是在零行上加上其他行，根据5，行列式不变。但是这样做后矩阵会有相同的两行，根据4，detA=0\det A=0。
7、如果AA是三角矩阵，那么detA\det A是对角元素a11,a22,⋯,anna_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}的乘积；如果三角矩阵AA的对角线上元素为1，那么detA=1\det A=1。
\begin{vmatrix} a&b\\0&d \end{vmatrix} =ad \qquad \begin{vmatrix} a&0\\c&d \end{vmatrix} =ad
证明：假设对角元素是非零的，那么消元步骤将移除所有的非对角元素，根据5，这不会改变行列式。如果AA是下三角矩阵，那么步骤是向下进行；如果AA 是上三角矩阵，那么最后一列通过因子anna_{nn}可以别前面的列清楚掉。每种方法都能得出对角矩阵DD：
D=\begin{bmatrix} a_{11}&&\\ &\ddots&\\ &&a_{nn} \end{bmatrix} \text{得出} \det D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\det I=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
为了求出detD\det D，我们重复应用3，提出因子a11a_{11}，然后是a22a_{22}，最后是anna_{nn}后留下了单位矩阵，我们再利用1：detI=1\det I=1。
如果对角元素是零，那么消元将产生零行，利用5，这些消元步骤不改变行列式，根据6，零行意味着行列式为零。这意味着：当三角矩阵是奇异时(因为主对角线上有一个零)它的行列式是零。
这是一个非常关键的性质，所有奇异矩阵的行列式是零。
8、如果AA是奇异的，那么detA=0\det A=0；如果AA是可逆的，那么detA≠0\det A\neq 0。
\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \text{是不可逆的，当且仅当} ad-bc=0
如果AA是奇异的，消元法将在UU中产生零行，那么detA=detU=0\det A=\det U=0。如果AA是非奇异的，消元法将把主元d1,…,dnd_1,\ldots,d_n放大主对角线上，对于detA\det A我们有一个主元乘积的公式！这个符号取决于行交换的次数是奇数还是偶数：
\begin{equation} \det A=\pm \det U=\pm d_1d_2\ldots d_n\tag1 \end{equation}
第九条性质是乘积法则。
9、ABAB的行列式是detA\det A和detB\det B的乘积。
|A||B|=|AB|\quad \begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix} \begin{vmatrix} e&f\\g&h \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh \end{vmatrix}
这个法则的特性情况给出A−1A^{-1}的行列式，它肯定是1/detA1/\det A：
\begin{equation} \det A^{-1}=\frac{1}{\det A},\text{因为}(\det A)(\det A^{-1})=\det AA^{-1}=\det I=1\tag2 \end{equation}
考虑2×22\times 2的情况：
(ad-bc)(eh-fg)=(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)
对于n×nn\times n的情况，这里给出两种可能的证明，这些证明都假设A,BA,B是非奇异的；要不然的话ABAB将是奇异的，这时候方程detAB=(detA)(detB)\det AB=(\det A)(\det B) 很容易证明，根据8，它是0=00=0。
- 我们证明d(A)=detAB/detBd(A)=\det AB/\det B满足性质1-3，那么d(A)d(A)肯定等于detA\det A。例如，d(I)=detB/detB=1d(I)=\det B/\det B=1；满足1。如果AA交换两行，ABAB同样交换两行，根据2dd的符号改变。AA第一行的线性组合得到同样ABAB第一行的线性组合，ABAB的行列式除以固定值detB\det B得到d(A)d(A)，根据3，d(A)=detAB/detBd(A)=\det AB/\det B 和detA\det A是一致的，也就是我们乘法公式。
- 第二个证明不太优雅，对于一个对角矩阵，detDB=(detD)(detB)\det DB=(\det D)(\det B)从每行分解出did_i，将一个一般矩阵AA通过消元法化简为DD——和之前一样先从AA 变成UU，然后向上操作从UU变成DD。消元过程跟之前一样，只是有行交换的时候符号反转一下。采取同样的步骤将ABAB化成DBDB。
10、AA的转置和AA的行列式相等：detAT=detA\det A^T=\det A。
|A|=\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a&c\\b&d \end{vmatrix} =|A^T|
考虑一下奇异的情况，当且仅当ATA^T是奇异的时候AA是奇异的，并且0=00=0。如果AA是非奇异的，那么可以进行分解PA=LDUPA=LDU，应用9得到乘法的行列式：
\begin{equation} \det P\det A=\det L\det D\det U \end{equation}
对 PA=LDUPA=LDU转置得到 ATPT=UTDTLTA^TP^T=U^TD^TL^T，再次利用9
\begin{equation} \det A^T\det P^T=\det U^T\det D^T\det L^T\tag3 \end{equation}
这个结果要比看上去的简单的多，因为L,U,LT,UTL,U,L^T,U^T是三角矩阵，且对角元素都是1，根据7，他们的行列式都是1，另外，任何对角等于它的转置：D=DTD=D^T，我们还得说明detP=detPT\det P=\det P^T。
detP\det P是1或者-1，因为PP是从II中通过行交换得到的。另外PPT=IPP^T=I(PP中第一行的1匹配PTP^T中第一列的1，和其他列的都没有相遇)，因此detPdetPT=detI=1\det P\det P^T=\det I=1，P,PTP,P^T肯定有相同的行列式：都是1或者-1。
我们得出结论(3)(4)是相同的，并且detA=detAT\det A=\det A^T，根据这个事实我们的性质可以扩大一倍，因为应用在每行上法则现在可以应用到列上：当两列交换式行列式的符号发生变化，两个相等列(或一列是零)得到行列式是零，行列式线性依赖于每个单独列。这些证明仅仅需要将矩阵转置，然后用行的证明方法证明即可。
讲了这么多性质后，为了加强记忆和理解，最好找些例题亲身实践一下。
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