1. 实验结果

（1）计算如下积分的近似值及误差：

（真实值约0.693147118）
（2）分别使用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式以及 Romber 公式计算积分的近似值，并估计误差，结果如下：

由结果可以发现，梯形公式、Simpson 公式以及 Cotes 公式计算结果的误差越来越小。因为定义的 Romberg 公式的输入参数包括精度要求，本次运行设置精度要求为 0.001，由结果可见求得的值满足误差要求。

改变输入的参数，设置 Romberg 求积法的精度要求为 0.000001 后，输出表格里的计算值相应增加，由结果可见求得的值满足精度要求。

2. 代码

test.py

from class5 import integrationnew = integration()print('梯形公式：Newton_Cotes(n=1)：')
new.newton_cotes(0, 1, 'trapezoid')
print('\nSimpson公式：Newton_Cotes(n=2)：')
new.newton_cotes(0, 1, 'simpson')
print('\nCotes公式：Newton_Cotes(n=4)：')
new.newton_cotes(0, 1, 'cotes')
print('\nRomberg公式：')
new.Romberg(0, 1, 0.001)

class5.py

import numpy as np
import sympyclass integration(object):"""包括: 1. Newton_Cotes(n=1,2,4); 2. Romberge求积法"""# 被积函数def f(self, x):y = 1 / (1 + x)return y# 对函数求n阶导，用于计算误差def dc_f(self, x_, n):x = sympy.Symbol('x')f = 1 / (1 + x)return sympy.diff(f, x, n).evalf(subs={x: x_})  # 1. Newton_Cotes(n=1,2,4)def newton_cotes(self, a, b, mode):if mode == 'trapezoid':  # 梯形求积公式I = (b - a) * (self.f(b) + self.f(a)) / 2  R = max((-(b - a) ** 3) * self.dc_f(a, 2) / 12, (-(b - a) ** 3) * self.dc_f(b, 2) / 12)if mode == 'simpson':  # Simpson求积公式h = (b - a) / 2I = (b - a) * (self.f(a) + 4 * self.f(a + h) + self.f(b)) / 6R = max((-h ** 5) * self.dc_f(a, 4) / 90, (-h ** 5) * self.dc_f(b, 4) / 90)if mode == 'cotes':  # Cotes求积公式h = (b - a) / 4I = (b - a) * (7 * self.f(a) + 32 * self.f(a + h) + 12 * self.f(a + 2 * h) + 32 * self.f(a + 3 * h) + 7 * self.f(b)) / 90R = max(-2 * (b - a) * h ** 6 * self.dc_f(a, 6) / 945, -2 * (b - a) * h ** 6 * self.dc_f(b, 6) / 945)print('积分值为:I=', I, ',误差R<=', R)# 2. Romberge求积法def Romberg(self, a, b, e):#  存放计算结果的表4*4T = [[j for j in [0, 0, 0, 0]] for i in range(4)]i = 1# T[1][0]处为T((b-a))T[0][0] = (b - a) * (self.f(b) + self.f(a)) / 2# T[1][0]处为T((b-a)/2),公式T(h)=T(2h)/2 + h*[f(x1)+f(x3)+...]T[1][0] = T[0][0] / 2 + self.f((b - a) / 2) * (b - a) / 2# T[i][k] = T[i][k-1]+(T[i][k-1]-T[i-1][k-1])/(4**k-1)T[1][1] = T[1][0] + (T[1][0] - T[0][0]) / (4 ** i - 1)# 先计算得到了一个2*2的表，如果精度达不到要求时继续执行while abs(T[i][i] - T[i][i - 1]) > e:i += 1   # 多计算表中一行Sum = 0if i == 4:  # 达到构建的表的最大存放量break# 第一列T[i][0]处为T((b-a)/2**i),公式T(h)=T(2h)/2 + h*[f(x1)+f(x3)+...]# Sum计算奇数项之和：[f(x1)+f(x3)+...]，T(h)=T(2h)/2 + h*Sumfor j in range(2 ** (i - 1)):Sum = Sum + self.f(a + (2 * j + 1) * (b - a) / 2 ** i)T[i][0] = T[i - 1][0] / 2 + Sum * (b - a) / 2 ** i# 计算除第一列外的数，T[i][k] = T[i][k-1]+(T[i][k-1]-T[i-1][k-1])/(4**k-1)for j in range(1, i + 1):T[i][j] = (T[i][j - 1] * 4 ** i - T[i - 1][j - 1]) / (4 ** i - 1)# 4*4的表仍不能满足精度要求，在表中加行while abs(T[i - 1][-1] - T[i - 1][-2]) > e:Sum = 0T.append([])for j in range(2 ** (i - 1)):Sum = Sum + self.f(a + (2 * j + 1) * (b - a) / 2 ** i)T[i].append(T[i - 1][0] / 2 + Sum * (b - a) / 2 ** i)for j in range(1, i + 1):T[i].append((T[i][j - 1] * 4 ** i - T[i - 1][j - 1]) / (4 ** i - 1))i += 1while [] in T:T.remove([])print('计算过程中的表格如下：')print(np.array(T))if i < 4:I = T[i][i]R = abs(T[i][i] - T[i][i - 1])else:I = T[-1][-1]R = abs(T[-1][-1] - T[-1][-2])print('积分值为:I=', I, ',误差R<=', R)

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Python05 梯形公式 Simpson公式 Cotes公式 Romber公式(附代码)

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