题目

用二叉树方法给出(P∧(Q→R))→(S∨∼R)(P\wedge(Q→R))→(S\vee{\sim{R}})(P∧(Q→R))→(S∨∼R)的所有指派。
将(P∧(Q→R))→S(P\wedge(Q→R))→S(P∧(Q→R))→S化成合取范式。
设α\alphaα有四个原子命题P1P_{1}P1、P2P_{2}P2、P3P_{3}P3、P4P_{4}P4，其所有成假指派为xtxtxtxtxtxt、ftfxftfxftfx、txtftxtftxtf，写出命题公式α\alphaα。
将(∀xA(x)→∃xB(x))∨(Q→R)(∀xA(x)→∃xB(x))\vee(Q→R)(∀xA(x)→∃xB(x))∨(Q→R)化为子句形式。

题解

1.将PPP用ttt代入作为左分支，fff代入作为右分支，依次代入QQQ、RRR、SSS得：

成真指派：fxxx、txfx、txtt
成假指派：txfx

说明：这个图我画的不是很好，分完PPP再分最多的RRR会更好一些。

2.化简过程如下：
(P∧(Q→R))→S⇔(P∧(¬Q∨R))→S⇔¬(P∧(¬Q∨R))∨S⇔(¬P∨¬(¬Q∨R))∨S⇔(¬P∨(Q∧¬R))∨S⇔((¬P∨Q)∧(¬P∨¬R))∨S⇔(¬P∨Q∨S)∧(¬P∨¬R∨S)(P\wedge(Q→R))→S\\⇔(P\wedge(¬Q\vee{R}))→S\\⇔¬(P\wedge(¬Q\vee{R}))\vee{S}\\⇔(¬P\vee¬(¬Q\vee{R}))\vee{S}\\⇔(¬P\vee(Q\wedge{¬R}))\vee{S}\\⇔((¬P\vee{Q})\wedge(¬P\vee{¬R}))\vee{S}\\⇔(¬P\vee{Q}\vee{S})\wedge(¬P\vee{¬R}\vee{S})(P∧(Q→R))→S⇔(P∧(¬Q∨R))→S⇔¬(P∧(¬Q∨R))∨S⇔(¬P∨¬(¬Q∨R))∨S⇔(¬P∨(Q∧¬R))∨S⇔((¬P∨Q)∧(¬P∨¬R))∨S⇔(¬P∨Q∨S)∧(¬P∨¬R∨S)

3.可以直接写出命题公式如下：
¬((P2∧P4)∨(¬P1∧P2∧¬P3)∨(P1∧P3∧¬P4))¬((P_{2}\wedge{P_{4}})\vee(¬P_{1}\wedge{P_{2}}\wedge{¬P_{3}})\vee(P_{1}\wedge{P_{3}}\wedge{¬P_{4}}))¬((P2∧P4)∨(¬P1∧P2∧¬P3)∨(P1∧P3∧¬P4))

化简过程如下：
¬((P2∧P4)∨(¬P1∧P2∧¬P3)∨(P1∧P3∧¬P4))⇔¬(P2∧P4)∧¬(¬P1∧P2∧¬P3)∧¬(P1∧P3∧¬P4)⇔(¬P2∨¬P4)∧(P1∨¬P2∨P3)∧(¬P1∨¬P3∨P4)¬((P_{2}\wedge{P_{4}})\vee(¬P_{1}\wedge{P_{2}}\wedge{¬P_{3}})\vee(P_{1}\wedge{P_{3}}\wedge{¬P_{4}}))\\⇔¬(P_{2}\wedge{P_{4}})\wedge¬(¬P_{1}\wedge{P_{2}}\wedge{¬P_{3}})\wedge¬(P_{1}\wedge{P_{3}}\wedge{¬P_{4}})\\⇔(¬P_{2}\vee{¬P_{4}})\wedge(P_{1}\vee{¬P_{2}}\vee{P_{3}})\wedge(¬P_{1}\vee{¬P_{3}}\vee{P_{4}})¬((P2∧P4)∨(¬P1∧P2∧¬P3)∨(P1∧P3∧¬P4))⇔¬(P2∧P4)∧¬(¬P1∧P2∧¬P3)∧¬(P1∧P3∧¬P4)⇔(¬P2∨¬P4)∧(P1∨¬P2∨P3)∧(¬P1∨¬P3∨P4)

4.子句形式需要化简出前束合取范式，化简过程如下：
(∀xA(x)→∃xB(x))∨(Q→R)⇔(∀xA(x)→∃yB(y))∨(Q→R)⇔(¬∀xA(x)∨∃yB(y))∨(¬Q∨R)⇔(∃xA(x)∨∃yB(y))∨(¬Q∨R)⇔(∃x∃y(A(x)∨B(y)))∨(¬Q∨R)⇔∃x∃y(A(x)∨B(y)∨¬Q∨R)(∀xA(x)→∃xB(x))\vee(Q→R)\\⇔(∀xA(x)→∃yB(y))\vee(Q→R)\\⇔(¬∀xA(x)\vee{∃yB(y)})\vee(¬Q\vee{R})\\⇔(∃xA(x)\vee{∃yB(y)})\vee(¬Q\vee{R})\\⇔(∃x∃y(A(x)\vee{B(y))})\vee(¬Q\vee{R})\\⇔∃x∃y(A(x)\vee{B(y)\vee¬Q\vee{R}})(∀xA(x)→∃xB(x))∨(Q→R)⇔(∀xA(x)→∃yB(y))∨(Q→R)⇔(¬∀xA(x)∨∃yB(y))∨(¬Q∨R)⇔(∃xA(x)∨∃yB(y))∨(¬Q∨R)⇔(∃x∃y(A(x)∨B(y)))∨(¬Q∨R)⇔∃x∃y(A(x)∨B(y)∨¬Q∨R)

所以子句形式为：A(a)∨B(b)∨¬Q∨RA(a)\vee{B(b)\vee¬Q\vee{R}}A(a)∨B(b)∨¬Q∨R

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