IDFT

IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform), 傅里叶逆变换，可以将频域信号转换到时域中, 它的公式非常简单：
x[n]=1N∑k=0N−1X[k]ej2πkn/Nx[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N} x[n]=N1k=0∑N−1X[k]ej2πkn/N

X[k]X[k]X[k]：离散频率下标为k时的频率大小

x[n]x[n]x[n]: 离散时域信号序列

NNN: 信号序列的长度，也就是采样的个数

对比我们之前讲过的DFT，两者公式类似，但是注意在DFT中指数带负号，而IDFT中不带

从矩阵的角度看IDFT

DFT的矩阵表示

讲IDFT之前，我们先复习DFT的矩阵表示形式：
[s00s01⋯s0N−1⋮⋮⋮⋮sk0sk1⋯skN−1⋮⋮⋱⋮sN−10sN−11⋯sN−1N−1][x[0]x[1]⋮x[n]⋮x[N−1]]=[X[0]X[1]⋮X[k]⋮X[N−1]]\begin{bmatrix} s_0^0 & s_0^1 & \cdots & s_0^{N-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ s_k^0 & s_k^1 & \cdots & s_k^{N-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ s_{N-1}^0 & s_{N-1}^1 & \cdots & s_{N-1}^{N-1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots\\ x[n] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ \vdots\\ X[k] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡s00⋮sk0⋮sN−10s01⋮sk1⋮sN−11⋯⋮⋯⋱⋯s0N−1⋮skN−1⋮sN−1N−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x[0]x[1]⋮x[n]⋮x[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡X[0]X[1]⋮X[k]⋮X[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
SSS矩阵中的每一行都是一个SkS_kSk向量，Sk=e−j2πkn/N,n=0,1,⋯ ,N−1S_k = e^{-j2\pi kn/N}, n=0,1,\cdots,N-1Sk=e−j2πkn/N,n=0,1,⋯,N−1，进一步简化上面的表示，得到：
[⋯S0⋯⋮⋯Sk⋯⋮⋯SN−1⋯][x[0]x[1]⋮x[n]⋮x[N−1]]=[X[0]X[1]⋮X[k]⋮X[N−1]]\begin{bmatrix} \cdots & S_0 & \cdots \\ & \vdots & \\ \cdots & S_k & \cdots \\ & \vdots & \\ \cdots & S_{N-1} & \cdots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots\\ x[n] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ \vdots\\ X[k] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⋯⋯⋯S0⋮Sk⋮SN−1⋯⋯⋯⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x[0]x[1]⋮x[n]⋮x[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡X[0]X[1]⋮X[k]⋮X[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

IDFT的矩阵表示

从IDFT的公式，可以看出，其实IDFT和DFT表示是一样的，只是对象发生了变化。具体来说，有两个变化：

由于指数部分不再有符号，SkS_kSk进行了共轭操作，得到Sk∗S_k^*Sk∗
输入是频率信息X[k]

因此，矩阵表示变成了下面这样：
[⋯S0∗⋯⋮⋯Sk∗⋯⋮⋯SN−1∗⋯][X[0]X[1]⋮X[n]⋮X[N−1]]=[x[0]x[1]⋮x[k]⋮x[N−1]]\begin{bmatrix} \cdots & S_0^* & \cdots \\ & \vdots & \\ \cdots & S_k^* & \cdots \\ & \vdots & \\ \cdots & S_{N-1}^* & \cdots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ \vdots\\ X[n] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots\\ x[k] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⋯⋯⋯S0∗⋮Sk∗⋮SN−1∗⋯⋯⋯⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡X[0]X[1]⋮X[n]⋮X[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x[0]x[1]⋮x[k]⋮x[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Talk is cheap, show me the code

接下来就简单多了，我们将先介绍如何使用scipy中ifft，然后自己动手实现一份ifft

导入必要的包

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft, ifftimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib notebook

生成信号用于测试

def generate_sine(N, A, fs, f0, phi):'''N : number of samplesA : amplitudefs: sample ratef0: frequencyphi: initial phase'''T = 1/fsn = np.arange(N)x = A*np.cos( 2*np.pi*f0*n*T + phi )return x# generate signal
N = 501
A = 0.8
fs = 44100
f0 = 1000
phi = 0.0x = generate_sine(N, A, fs, f0, phi)plt.figure()
plt.plot(x)
plt.show()

使用scipy中的ifft

# fft the signal
N = 512                       # fft size
X = fft(x, N)
mX = np.abs(X)
pX = np.angle(X)freq_axis = np.arange(N)/N * fs
plt.figure(figsize=(10, 12))
ax = plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(freq_axis, mX)
ax.set_title('Magnitude')ax = plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(freq_axis, pX)
ax.set_title('Phase')# ifft it
ifft_x = ifft(X)
ax = plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(ifft_x)
ax.set_title('Synthesise')plt.show()

自己动手写ifft

只有两个地方要注意：

不要忘记乘上 1/N
Sk∗S_k^*Sk∗是SkS_kSk向量的共轭后的结果。反映在代码中，就是Sk∗S_k^*Sk∗不要共轭操作之间返回

def generate_complex_sinusoid(n, N):'''n : time index (or frequency index)N : number of sample'''k = np.arange(N)c_sin = np.exp(1j*2*np.pi*k*n/N)return c_sin# ifft loop
ifft_x = np.array([])for i in range(N):s = generate_complex_sinusoid(i, N)ifft_x = np.append(ifft_x, 1/N * np.sum(X*s))plt.figure()
plt.plot(ifft_x)
plt.show()

总结

通过自己动手，我们发现IDFT的原来和实现很简单，几乎与DFT一模一样，唯一需要注意的点就是Sk∗S_k^*Sk∗

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