使用QP方法解基于五次多项式形式的cost function minimization问题

我们在这里使用二次规划(QP)的方法解一个五次多项式形式的曲线的cost function minimization的问题。二次规划的标准形式如下：

在之前的讨论的五次多项式的方法中，我们在采用空间上依旧有时间T信息，在这里时间T没有办法放进来，因此只适用于求解空间曲线，或者时间国定曲线的问题。
标准的无阶多项式及其一阶导数，二阶导数的表达式如下：

代价函数cost function中，我们只考虑横向偏移，以及jerk的大小：（当然我们还可以把比如横向速度和加速度考虑进来）

那么写成矩阵形式为：

对于jerk项也是一样：

H matrix为两项之和：

等式约束为起点的位置，速度，加速度，终点的速度，加速度，注意终点的位置被放在的不等式约束中。

写成矩阵形式：

合并后为：

不等式约束仅仅约束终点的位置(当然我们还可以把横向速度和横向加速度的限制考虑进来)：

写成矩阵形式：

为了简单验证可以使用matlab quadprog求解：
将对应的matrix形式写出来然后带入标准格式中可得

options = optimoptions('quadprog',...'Algorithm','interior-point-convex','OptimalityTolerance',1e-4);[x,fval,exitflag,output,lambda] =  quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

output = struct with fields:message: '↵Minimum found that satisfies the constraints.↵↵Optimization completed because the objective function is non-decreasing in ↵feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,↵and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.↵↵<stopping criteria details>↵↵Optimization completed: The relative dual feasibility, 1.504029e-13,↵is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-04, the complementarity measure,↵7.016640e-05, is less than options.OptimalityTolerance, and the relative maximum constraint↵violation, 1.504029e-13, is less than options.ConstraintTolerance = 1.000000e-08.↵↵'algorithm: 'interior-point-convex'firstorderopt: 5.5478e-04constrviolation: 1.6116e-15iterations: 2linearsolver: 'dense'cgiterations: []lambda = struct with fields:ineqlin: [2×1 double]eqlin: [5×1 double]lower: [6×1 double]upper: [6×1 double]Elapsed time is 0.080802 seconds.

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