数值计算方法（七）——两种消去法求解线性方程组

一、约当消去法

基本思想：
将矩阵转换成仅含主对角元素，且为1
算法步骤描述：
1.逐行进行遍历：
（1）归一化，保证该行主对角元素为1
（2）其他所有行进行消元，消去目前该行的对应主对角元素的那列的元素，注意操作右端向量b
2.最后得到的对角矩阵即为结果

代码实现：

/***@name Jordan_elimination：约当消元*@param1 A：系数矩阵*@param2 b：右端向量
**/
void Jordan_elimination(double A[row_len][col_len],double b[row_len])
{for (int i=0;i<row_len;i++){//对一行元素//首先进行归一化 A中元素double A_temp=A[i][i];for (int j=0;j<col_len;j++){A[i][j]=A[i][j]/A_temp;}//归一化b中元素b[i]=b[i]/A_temp;//对其他行减去该行的归一化元for (int k=0;k<row_len;k++){if(k==i)continue;else{//消去该行的第i列的元素double A_temp2=A[k][i];for (int p=0;p<row_len;p++){A[k][p]=A[k][p]-A_temp2*A[i][p];}//对b向量在该行的值作处理b[k]=b[k]-A_temp2*b[i];}}}//显示矩阵经过约当消元后的结果 对角for (int i=0;i<row_len;i++){for (int j=0;j<col_len;j++){cout<<A[i][j]<<" ";}cout<<b[i]<<endl;}
}

二、高斯消去法

基本思想：
将矩阵转化为上三角矩阵，然后再从最后一行回代求解
算法步骤：
1.逐行遍历
（1）根据主对角元素对该行进行归一化
（2）该行下面的所有行消去该行的主对角元素对应列的元素，同样不要忘记操作右端向量b
2.迭代得到的矩阵为上三角矩阵，需要进行回代求解
3.回代时定义一个解向量，从后先前迭代：右端向量-sum(位于该位置后面的解*对应位置系数)

代码实现：

/***@name Jordan_elimination：高斯消去法*@param1 A：系数矩阵*@param2 b：右端向量
**/
void Gaussian_elimination(double A[row_len][col_len],double b[row_len])
{for (int i=0;i<row_len;i++){//将主对角归一化double A_temp=A[i][i];for (int j=0;j<col_len;j++){A[i][j]=A[i][j]/A_temp;}b[i]=b[i]/A_temp;//对该行后面的行进行消元for (int k=i+1;k<row_len;k++){double A_temp2=A[k][i];for (int p=0;p<col_len;p++){A[k][p]=A[k][p]-A_temp2*A[i][p];}b[k]=b[k]-A_temp2*b[i];}}//显示矩阵结果 上三角for (int i=0;i<row_len;i++){for (int j=0;j<col_len;j++){cout<<A[i][j]<<" "; }cout<<b[i]<<endl;}//回代cout<<"\nthe result is"<<endl;//x定义为解向量 从后向前回代double x[row_len];for (int i=row_len-1;i>=0;i--){x[i]=b[i];for (int j=i+1;j<row_len;j++){x[i]+=(-A[i][j]*x[j]);}}//显示解向量for (int i=0;i<row_len;i++){cout<<x[i]<<endl;}
}

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