不确定度与协方差矩阵的关系

常在一些地方看到“使用协方差矩阵表示某个状态的不确定度”，不太理解协方差矩阵和不确定度有什么关系，一直认为协方差矩阵是描述一个样本的不同维度的关联关系，不确定度是描述一个状态的值的不确定程度，为什么协方差矩阵可以用来表示不确定度呢？

不确定度的定义如下：

不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。

表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。

此参数可以是诸如称为标准测量不确定度的标准偏差（或其特定倍数），或是说明了包含概率的区间半宽度。

当测量结果是由若干个其他量的值求得时, 按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度, 称为合成标准不确定度。

合成标准不确定度仍然是标准偏差, 它表征了测量结果的分散性。

由上可知，标准偏差是描述随机变量围绕均值的分散程度的，是可以用来表示不确定度的，而标准偏差的平方就是方差，那方差也是可以反映不确定度的。注意，不确定度不是误差，误差是测量值减去真实值。

协方差的定义如下：

在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。

协方差表示的是两个变量总体误差的期望。

单个随机变量的方差表示分布的分散程度，2个随机变量的协方差可以理解为它们一致的分散程度，其中，“一致”体现在2个随机变量分别对应于各自的均值同时正向/负向变化的程度，对应名字中的“协”，“分散”体现在相对于各自均值的偏离，对应名字中的“方差”。因此，协方差包含了误差和相关性2重特性，协方差是相关性导致的方差，也就和不确定度产生了微妙的联系。

不确定度 <------> 标准偏差 <------> 方差 <-----> 协方差

当有随机变量x,y,u=ax+by,即u是x与y的线性组合。则有

记u=P*S，其中，P=[a b], S=transpose([x y]), 则有Var(u) = P*C*transpose(P）。这里强调一下，计算的结果就是变量u的方差！！这个式子就可以和卡尔曼滤波器中的预测误差协方差矩阵的计算联系起来了，而这个预测误差协方差矩阵，就反映了预测结果的不确定性。

如果u与xy不是线性关系，就把u=f(x,y)泰勒一阶展开，上式中的P就换为f对x,y求偏导，即雅各比矩阵，就演化为了扩展卡尔曼滤波器。

总结下来，我的理解就是协方差矩阵是可以反映测量结果的不确定度的，正如方差发挥的作用一样。同时，因为其附加体现的相关性，这个不确定度就是一个椭圆，相关性体现在沿椭圆的长轴不确定性更大，沿短轴不确定性较小。并且，在推导误差或不确定度沿模型（就是f(x,y))传递时，协方差矩阵发挥了基础且重要的作用。

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