在前文中，实际上我们不仅仅在考虑，抽样分布的置信区间与假设检验方法；实际上，我们面对的是一种特殊的分布。当然，我们都学过概率论，所以我们也知道，这其实就是中心极限定理——特别的，这里是二项分布逼近正态分布的情况，然后我们对它采取标准化操作，变为标准正态分布。以下我们还是从直观的、统计的角度来看待、感受标准正态分布，而不是像概率论教材里那样严谨的从数学上证明。

8.标准正态分布

上面我们提到的对抽样分布的归一化公式，其中 p ^ \hat p p^ 是各次实验的统计数据， p p p是问题的真值（实践中，我们用抽样分布的均值 μ \mu μ来代替， n n n：
p ^ − p p ( 1 − p ) n \hat p- p \over \sqrt { p(1-p) \over n} np(1−p) p^−p
例如，之前对于民意调查的实验结果，经过归一化后如下：

我们将离散的分布连续化，将其中的内容变得更加平滑：

在这里，我们可以看到之前的95%置信区间的1.96是怎么来的，其实就是归一化后，[-1.96,1.96]就是95%置信区间。

实际上，标准化是十分有用的，这里还是再举个类似的例子，啰嗦两句：

例如，其中的0.62是某一次的抽样结果，那么它不在95%置信区间内。通过归一化方法，我们发现归一化后的值为2.4，也不在95%置信区间内。

归一化使得我们在内核相同但具体应用场景不同的时候，即具体数字不同，但分布形态相同时，将分布转换为相同的标准正态分布，将具体的抽样结果对应起来。啰嗦一下，标准正态分布的概率密度函数是：
1 2 π e − 1 2 x 2 {1 \over \sqrt {2 \pi}}e^{-{1\over 2}x^2} 2π 1e−21x2
值得注意的是，使用正态分布近似伯努利分布，并不意味着他们真正的相同。首先，伯努利分布是离散的分布，而正态分布是连续的；其次，这种近似也是有条件的近似，其相关条件如下所述。

理论上，就是“棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理”，中心极限定理的先驱。

9.近似条件

并不是所有的伯努利实验结果，都可以被近似为正态分布，并用上面的方法分析。直观的来说，真实的概率 p p p和样本容量 n n n都会影响近似程度，因为他们都会影响抽样分布的形态。下面举两个例子：

9.1 样本容量的影响

首先，我们自然是希望样本容量大一些好，如果样本容量 n n n很小，例如在抛硬币的时候，我们认为 n = 2 n=2 n=2，那么结果如下：

显然，由于每次实验的结果都太离散了，不可能用连续的分布去近似它。而且我们算一算95%置信区间，结果都超出[0,1]范围了。因此，n要足够大，才能够充分得到更加连续的结果。

9.2 真实值影响

如果真实值非常接近0或者接近1，那么分布形态也会不太像正态分布。如下所示，看起来类似于一个“偏态分布”：

显然，这里的n不够大：n比较小的时候，分布比较宽，直观地想象，分布的“一侧难以展开”，因此如果n取值大一些，那么分布还是会比较类似于正态分布的。

总结

实际上，在概率论课本上，写的是当 n p > 20 np>20 np>20的时候，我们就可以用正态分布来逼近伯努利分布了。我们首先要意识到， n p np np其实是多次实验时，事件发生的期望的含义，这意味着很多时候我们只要知到事件发生的期望，而不需要知到具体的概率，就可以做近似了。其次，上面的公式可以说是一个经验公式， n p ≥ 10 np \ge10 np≥10或者说 n ( 1 − p ) ≥ 10 n(1-p) \ge 10 n(1−p)≥10都是可以的。这里我们要注意，p和1-p是对称的，因此我们需要考虑p和1-p的较小值，满足上面的条件。

例如我们在上面9.1节中投硬币的实验中，设置 n = 20 n=20 n=20，那么结果就好多了。

或者9.2节中，将样本大小设为 n = 100 n=100 n=100，结果也看起来好多了（因为100*（1-0.9）=10）,这里我们要注意，p和1-p是对称的，在这里p很大，所以我们肯定考虑1-p满足条件。

此外，用泊松分布逼近伯努利分布，其实也是这个公式，类似的这个道理。但是如果实在是不能满足上面的公式，即 n n n太小，或者 p p p取值过于极端，那么我们应该如何？

书中介绍，可以使用exact methods。实际上就是我们可以假设二项分布中的 p p p和 1 − p 1-p 1−p来直接计算理想的结果，但是这和我们验证假设又有什么关系呢。。。

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8.标准正态分布

9.近似条件

9.1 样本容量的影响

9.2 真实值影响

总结

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