等比数列求和（快速幂 + 逆元）

求一个等比数例之和，并让他对一个数取模。

用到等比数列求和公式，快速幂，逆元。

不会证明，下面给出代码。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
typedef  long long ll;
ll multi(ll a,ll b,ll m)  // 二分乘法
{ll ans = 0;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = (ans + a) % m;b--;}b >>= 1;a = (a + a) % m;}return ans;
}
ll quick_mod(ll a,ll b,ll mod)
{ll res = 1;while(b){if(b % 2 == 1)res = multi(res, a, mod);// 二分乘法 不然会数据溢出b >>= 1;a = multi(a, a, mod);// 二分乘法 不然会数据溢出}return res;
}
int main()
{ll a, b, mod=9901;scanf("%I64d %I64d",&a, &b);// 首项为 1 ， 公比为 a，长度 为 b 的等比数例求和printf("%I64d\n",((quick_mod(a,b,mod*(a-1)) - 1) / (a-1)));return 0;
}

Sumdiv

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Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

Hint

2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.

15 modulo 9901 is 15 (that should be output).

思路： 举一个例子： 36， 1。

先把 36 分解成质因数， 2， 2，3， 3。

ans = 1 , 2, 2*2, 1*（3 + 3*3）, 2 * (3 + 3*3) , 2*2 *(3 * 3). 之和。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
typedef long long ll;
int p[10005];
void prime() // 打一个素数表
{p[1] = 2;int cnt = 1;for(int i=3; i<=10000; i+=2){int flag = true;for(int j=2; j*j<=i; j++){if(i%j == 0){flag = false;break;}}if(flag)p[++cnt] = i;}
}
ll multi(ll a,ll b,ll m)  // 二分乘法
{ll ans = 0;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = (ans + a) % m;b--;}b >>= 1;a = (a + a) % m;}return ans;
}
ll quick_mod(ll a,ll b,ll mod) // 快速幂
{ll res = 1;while(b){if(b % 2 == 1)res = multi(res, a, mod);b >>= 1;a = multi(a, a, mod);}return res;
}
int main()
{ll a, b, mod=9901;scanf("%I64d %I64d",&a, &b);if(a == 1){printf("1\n");return 0;}prime();ll ans = 1;int num = 0;for(int i=1; p[i]*p[i]<=a; i++){if(a % p[i] == 0) // 寻找每个质因数 和 它的数量 num。{num=0;while(a % p[i] == 0){num++;a /= p[i];}ll m =(p[i] - 1) * mod;ans *= ((quick_mod(p[i], num*b+1, m) + m - 1) / (p[i]-1)); // 等比数列求和// printf("%lld\n",(quick_mod(p[i], num*b+1, m) + m - 1) / (p[i]-1) % mod);ans %= mod;}}ll m = mod * (a - 1);if(a > 1)printf("%I64d\n",ans * ((quick_mod(a, b+1, m) + m - 1) / (a-1)) % mod);elseprintf("%I64d\n",ans % mod);return 0;
}

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