前言

A*算法,其核心思想在于f(n)和Best-First.其中 f(n) = g(n) + h(n),h(n)是代价估计函数,
g(n)是出发点到点n的距离。我们假设结点n可以到达m个结点。这m个结点形成一个
集合S。进一步的,h(n) = minDistance {n -> m | m ∈ S}。从而计算出结点n的代价函
数f(n),再利用Best-First思想,选择f(n)最小的结点,然后递归操作。

A* 证明

我们需要证明利用A*算法选出的路径是最小路径。证明采用反证法。

现在，我们假设有：
A*算法选出的路径A = {S, N1, N2 … Ni-1, Nj … N’, T( A )}，并说明该路径不是最短路径。
以及，
最短路径P = {S, N1, N2 … Ni-1, Ni,Ni+1 … T( P )}，最短路径中必定包含路径A中没有的结点Ni。并说明路径P的Ni之前的所有结点和路径A保持一致。
其中T( A )表示由路径A到达的终点T，T( P )表示最短路径P到达的终点T，N’表示T( A )结点的上一个结点

因为有f(Ni) = g(Ni) + h(Ni) <= g(T(P)) + 0 = f(T(p))

即无论如何，我们的Ni的下一个结点到起始点的路径长度小于等于终止点T§到起始点的路径长度

又有f(T(P)) <= f(T(A))

即T( P )是最短路径

所以有f(Ni) <= f(T( A ))。

同理，有

所以有f(Ni+1) <= f(T( A )),f(Ni+2) <= f(T( A ))……f(T( P )) <= f(T( A ))

这时，我们反过来看A*算法选出的路径，当我们处于N’，要选择下一个结点时，根据Best - First，我们必定会选择Ni结点，而不会选T(A)；而当我们处于Ni结点时，我们必定会选择Ni+1，而不会选择T(A)，如此一来，路径A不可能达到，故矛盾，所以A*算法正确

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