以问题为导向剖析一些矩阵等价类的本质（合同篇）

矩阵中典型的等价类有

相抵类、

相似类、

合同类，等.

每一类都有一个标准形，即代表元素.

也有一个在类中互相转换的方法，分别为

随意的初等行列变换（P1*A*P2=B）；

C^(-1)*A*C=B;

成对初等行列变换（C^t*A*C=B).

还有各自的目标问题：

★合同类：能否以及如何使任意二次型通过非退化线性替换转化成只含平方项的二次型？

问题转化为，能否使任意对称矩阵合同于一个对角矩阵？并求出C^t*A*C=B中的C。

下述三种方法代表了三种不同的探索思路：

法一：（朴素的换元配方法）若无平方项，则先通过巧妙地换元将乘积项转化为平方项，再配方完全后再次还原得解，非退化线性替换的具体结构通过两次换元的方程可以解出（在该过程中易知上述第一个问题答案为能）；

法二：（类比思路，仅适用于实对称矩阵）我们已知实对称矩阵一定相似于对角矩阵，C^(-1)*A*C=B中C为正交矩阵，那么可以推出C^t*A*C=B。

因此步骤为：1.先求eigenvalues和eigenvectors；

2.将所有linearly independent eigenvectors 标准正交化，并做成正交矩阵；

3.该正交矩阵为所求的C，所得对角矩阵主对角线上的值为所有eigenvalues。

法三：（该法体现着对合同最本质、最形象化的理解，并用巧妙的技巧将过程记录存档）

合同本质：两个矩阵能通过成对初等行列变换联系。

因此只需将任意对称矩阵通过成对初等行列变换转化为对角矩阵，并记录下所有变换过程即可。

☆记录技巧：在该矩阵下面接上一个单位矩阵，并连带着一起进行初等列变换。（宛如在该矩阵下面放了一颗写轮眼，观察模仿并记录下该矩阵的运动过程）

因此也可以看出，原问题的答案是肯定的。

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