BZOJ 3456: 城市规划(dp+多项式求逆)

传送门

解题思路

　　这道题就是求带标号的无向连通图个数，首先考虑$O(n^2)$的做法，设$f_i$表示有$i$个节点的无向连通图个数，那么考虑容斥，先把所有的无向图求出，即为$2^{C(n,2)}$，再减去不联通的情况，而计算不联通情况时可以枚举$1$号点这个联通块的大小，就有方程
　　\[f_i=2^{C_i^2}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}2^{C^2_{i-j}}f_j\]
　　发现这样的时间复杂度为$O(n^2)$的，无法通过本题。考虑优化，我们设法把左右两边的$f$合并，可以给式子同时除一个$(i-1)!$，可得
\[\frac{f_i}{(i-1)!}=\frac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{2^{C^2_{i-j}}f_j}{(j-1)!(i-j)!}\]
　　发现右边假设$j$枚举到$i$正好是左边，那么就移项。
\[\sum\limits_{j=1}^i\frac{C^{2}_{i-j}f_j}{(j-1)!(i-j)!}=\frac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}\]
　　右边是卷积的形式
\[\sum\limits_{j=1}^i\frac{f_j}{(j-1)!}*\frac{2^{C^2_{i-j}}}{(i-j)!}=\frac{2^{C^2_i}}{(i-1)!}\]
　　设$A=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{f_i}{(i-1)!}x^i$，$B=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{2^{C_i^2}}{i!}x^i$，$C=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}x^i$，则
\[A*B=C\]
\[A=C*B^{-1}\]
　　多项式求逆即可，时间复杂度$O(nlogn)$

转载于:https://www.cnblogs.com/sdfzsyq/p/10432954.html

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