多普勒效应及多普勒频移的简单推导

fd≡fR−fT(1)f_d\equiv f_R-f_T \tag{1} fd≡fR−fT(1)
式中，fdf_dfd表示多普勒频移，fRf_RfR表示目标回波的频率（Hz),fTf_TfT表示发射信号的频率（Hz）。
多普勒频移的表达式为：
fd=2vλ(2)f_d=\frac{2v}{\lambda} \tag{2} fd=λ2v(2)
式中，λ\lambdaλ为信号波长(m)，v为雷达与目标间的相对径向速度(m/s)。这是一个近似的表达式，适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此，因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。
多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的，它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度，即运动速度沿二者直线方向的分量。
下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。
雷达发射一段正弦波，起始点为A,终止点为B,在空间延伸的长度为D,频率为f0f_0f0.目标以径向速度vrv_rvr向着雷达飞行（远离雷达飞行时速度为负数，原理相同）,如图所示：

由于目标向雷达运动，B点接触目标后，到A点接触目标，所需的时间Δt\Delta tΔt为：
Δt=Dc+vr(s)(3)\Delta t=\frac{D}{c+v_r}(s)\tag{3} Δt=c+vrD(s)(3)
当A点接触目标时，B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度D′D'D′，其计算式为：
D′=(c−vr)⋅Δt=c−vrc+vrD(4)D'=(c-v_r)\cdot\Delta t=\frac{c-v_r}{c+v_r}D\tag{4} D′=(c−vr)⋅Δt=c+vrc−vrD(4)
其中c−vrc-v_rc−vr表示BBB点反射后电磁波相对目标的速度。
反射后的正弦波长度小于反射前的长度，但波的个数是不变的，设反射后的频率为f0′f_0'f0′，则有：
f0′f0=DD′=c+vrc−vr=1+2vrc−vr≈1+2vrc(5)\frac{f_0'}{f_0}=\frac{D}{D'}=\frac{c+v_r}{c-v_r}=1+\frac{2v_r}{c-v_r}\approx1+\frac{2v_r}{c}\tag{5} f0f0′=D′D=c−vrc+vr=1+c−vr2vr≈1+c2vr(5)
上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度，实际情况中通常如此，则多普勒频移fdf_dfd为：
fd=f0′−f0=f0⋅2vrc=2vrλ(6)f_d=f_0'-f_0=f_0\cdot\frac{2v_r}{c}=\frac{2v_r}{\lambda}\tag{6} fd=f0′−f0=f0⋅c2vr=λ2vr(6)

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