大数据之统计学基础(二)：随机变量及其概率分布

随机变量及其概率分布

随机变量(r.v)是研究随机试验中的一串事件：比如掷一颗骰子，用X表示骰子的点数，由于X的取值我们无法确定，所以称X是一个随机变量，随机变量的取值随机会而定。

1.随机变量的类型：

1.1离散型:

1.1.1 离散型r.v.X ：离散型 r.v.X取有限或可数多个值:

离散型随机变量的分布 (1)

P(X=xk)=Pkk=1,2,3...nP(X=x_k) = P_k \ \ k=1,2,3...n P(X=xk)=Pk k=1,2,3...n

离散型随机变量的分布 (2)

X	x1	x2	…	xn
P	P1	p2	…	pn

1.2 连续型

若df满足如下条件：存在非负函数f(x),且∫f(x)dx=1，F(x)=∫−∞xf(x)dx若df满足如下条件：存在非负函数f(x),且 \int f(x)dx =1 ， F(x) =\int_{-\infty}^x f(x)dx 若df满足如下条件：存在非负函数f(x),且∫f(x)dx=1，F(x)=∫−∞xf(x)dx
则称F(x)为连续型df，对应的r.v X称为连续型随机变量。

2 随机变量的概括性度量：

2.1 期望值：描述随机变量水平的统计量

2.1.1 离散型随机变量的期望：

μ=E(x)=∑xipi\mu = E(x) = \sum{x_ip_i} μ=E(x)=∑xipi

2.1.2 连续型随机变量的期望：

μ=E(x)=∫−∞∞xf(x)dx\mu = E(x) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx μ=E(x)=∫−∞∞xf(x)dx

2.2 方差: 描述随机变量离散程度的统计量

2.2.1 离散型随机变量的方差：

σ2=D(x)=∑(xi−μ)2pi\sigma^2 = D(x) = \sum{(x_i-\mu)^2p_i} σ2=D(x)=∑(xi−μ)2pi

2.2.2 连续型随机变量的方差：

σ=D(x)=∫−∞∞(x−u)2f(x)dx\sigma = D(x) = \int_{-\infty}^{\infty}(x-u)^2f(x)dx σ=D(x)=∫−∞∞(x−u)2f(x)dx

3 几种常见的分布

3.1 常见的离散型分布：二项分布、泊松分布、超几何分布

3.2 常见的连续型分布：正态分布、均匀分布、指数分布

3.3 其他几个重要的分布卡方分布、t分布、F分布

关于以上分布的分布函数、概率密度函数、描述性统计量、函数图像等信息在任何一本统计学教材均可查看，本文就不再赘述。

4 样本统计量及其概率分布的相关概念

参数：对总体特征的某个度量，通常情况下总体参数的值是未知的，需要通过样本信息进行推断；

统计量：根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量；样本统计量是一个随机变量。

统计量的概率分布：统计量是一个随机变量，它有一定的概率分布，样本统计量的概率分布也称为抽样分布，它是由样本统计量的所有可能取值形成的相对评率分布。统计量的概率分布实际上是一种理论分布。

比例：比例是指总体中具有某种属性的个体与全部个体之和的比值。

标准误：统计量的标准误是指统计量分布的标准差，也称为标准误差，标准误差用于衡量样本统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的一个重要尺度；例如：对一个总体多次抽样，每次样本大小都为n，那么每个样本都有自己的平均值，这些平均值的标准差叫做标准误差。

标准误的计算公式如下
SE=σxˉ=σ/nSE =\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n} SE=σxˉ=σ/n

参考资料：

贾俊平.《统计学-基于R》第三版
茆诗松.《概率论与数理统计教程》第二版