介绍

Kruskal算法与Prim算法不同，Prim是以顶点为向导，通过遍历顶点不断寻找与之相连的最小的权值边，从而找到最小生成树。Kruskal算法是以边为向导，依次找出权值最小的边建立最小生成树，每次新增的边要保证不能使生成树构成回路，直到遍历完所有的边为止。

核心思想

Kruskal的核心算法即在如何验证所添加的边是否与已添加的边构成回路，从而进行边的取舍。如图1所示，根据左图构建数组edges[]用于保存每条边对象，该对象包括begin、end和weight属性，分别表示当前边的起始顶点、终点和权值。对edges进行从小到大的排序后，得到如右图所示的数组。我们从小到大选择权值最小的边，每添加一条边，则图中会连接两个顶点。我们只需保证每次新添加的边不会与之前添加的边构成回路，那么，当所有的边遍历结束后，就形成了最小生成树。

如何验证回路

我们构建一个特殊的长度为边数的parent数组，该数组的角标表示某条边的起点，值为该边的终点，初始化时parent数组全为0，即表示没有一条边加入。我们通过角标，即起始顶点，可以找到该起始顶点所连接的终点，即邻接点；再以该终点作为新的起始顶点，又可以找到下一个终点。当找到的终点为0时，表示该以该终点为起点的顶点不存在邻接点；当以边的起点为起点找到的最终终点，与以边的终点为起点找到的最终终点相等时，说明该边会与之前的边构成回路。下面通过图1中的图来说明。

当遍历到edge[0]时，parent[4]=0，表示尚未加入以v₄为顶点的边，故将edge[0]边的起始顶点和终点加入到parent数组中，此时parent=[0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]，即parent[4]=7，表示存在以顶点v₄为起点，v₇为终点的通路，这里即是edges[0]边。依次向下遍历，由于parent数组初始为0，故在edge[6]之前不存在构成回路的边，如下图所示，此时parent=[1, 5, 8, 7, 7, 8, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0]。

当遍历到edge[7]时，edges[7]的起始顶点为5，我们以edges[7]的起始顶点为起点，在parent数组中查找其最终终点，有如下过程：

parent[5]=8 --> parent[8]=6 --> parent[6]=0 故尚不存在以v6为起始顶点的边，最终终点为v6

注意：此处从parent[5]=8并不表示顶点v₅和v₈是直接相连的，而是表示v₅顶点最终会通过某种连接连通到v₈，以此类推，我们可以得知v₅最终会连通到v₆。

以edge[7]的终点为起点，在parent数组中查找器最终终点，有如下过程：

parent[6]=0 故尚不存在以v6为起始顶点的边，最终终点即为起点v6

此时，我们发现以edges[7]的起点和终点的搜索结果相等，故可以得到，当加入edges[7]边时，会与图中已经存在的边构成回路，所以我们将其舍弃，如下图所示。

以此类推，当所有的边都遍历完成之后，图中的顶点所构成的回路即为最小生成树，如下图：

代码实现

package Kruskal;/*** 克鲁斯卡尔算法* @author asus*/
public class Kruskal {private Edge[] edges; // 按权值从小到大排序后的边数组private int edgeSize;  // 边数public Kruskal(int edgeSize) {this.edgeSize = edgeSize;edges = new Edge[edgeSize];}//定义边的内部类class Edge {private int begin;private int end;private int weight;public Edge(int begin, int end, int weight) {super();this.begin = begin;this.end = end;this.weight = weight;}public int getBegin() {return begin;}public void setBegin(int begin) {this.begin = begin;}public int getEnd() {return end;}public void setEnd(int end) {this.end = end;}public int getWeight() {return weight;}public void setWeight(int weight) {this.weight = weight;}}//通过邻接矩阵创建数组public Edge[] createEdgeArray(int[][] matrix) {     int k = 0;for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {for (int j = i + 1; j < matrix[i].length; j++) {int m = matrix[i][j];if (matrix[i][j] == Integer.MAX_VALUE)continue;edges[k] = new Edge(i, j, matrix[i][j]);k++;}}for (int i = 0; i < edges.length; i++) {for (int j = i + 1; j < edges.length; j++) {if (edges[j].weight < edges[i].weight) {Edge e = edges[i];edges[i] = edges[j];edges[j] = e;}}}return edges;}public void miniSpanTreeKruskal() {int m, n, sum = 0;int[] parent = new int[edgeSize];// 用于验证是否构成回路，角标为某条边的起点，值为该边的终点for (int i = 0; i < parent.length; i++) {parent[i] = 0;}for (int i = 0; i < parent.length; i++) {m = find(parent, edges[i].begin);// 以edges[i]边的起点为检索起点，找到其可以连接到的最终终点n = find(parent, edges[i].end);// 以edges[i]边的终点为检索起点，找到其可以连接到的最终终点if (m != n) {// 新加入的edges[i]边不会和已加入的边构成回路parent[m] = n;System.out.println("连接起点：" + edges[i].begin + "，连接终点：" + edges[i].end + "，权值为：" + edges[i].weight);sum += edges[i].weight;} else {System.out.println("边" + i + "构成了回路");}}System.out.println("sum:" + sum);}/*** 在图中以node为搜索起点进行检索，最终返回检索到的终点。即表示，从起点node开始，不论以何种路径检索，最终会连接到终点。* * @param parent 用于检验是否构成回路的数组* @param node   起始顶点，在parent中为角标* @return 返回终点*/private int find(int[] parent, int node) {while (parent[node] > 0) {// 已经添加了边node = parent[node];// 以检索到的终点为新的起点继续检索}return node;}
}

测试实例

package Kruskal;import Kruskal.Kruskal.Edge;public class KruskalDemo {public static void main(String[] args) {int MAX_WEIGHT = Integer.MAX_VALUE;//定义无效权值int[][] Matrix = new int[9][];    //邻接矩阵//邻接矩阵初始化Matrix[0] = new int[] {0,10,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,11,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT};Matrix[1] = new int[] {10,0,18,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,16,MAX_WEIGHT,12};Matrix[2] = new int[] {MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,0,22,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,8};Matrix[3] = new int[] {MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,22,0,20,MAX_WEIGHT,24,16,21};Matrix[4] = new int[] {MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,20,0,26,MAX_WEIGHT,7,MAX_WEIGHT};Matrix[5] = new int[] {11,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,26,0,17,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT};Matrix[6] = new int[] {MAX_WEIGHT,16,MAX_WEIGHT,26,MAX_WEIGHT,17,0,19,MAX_WEIGHT};Matrix[7] = new int[] {MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,16,7,MAX_WEIGHT,19,0,MAX_WEIGHT};Matrix[8] = new int[] {MAX_WEIGHT,12,8,21,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,0};Kruskal k = new Kruskal(15);Edge[] e = k.createEdgeArray(Matrix);//可以打印e以检验是否排序，这里省略k.miniSpanTreeKruskal();}}

输出结果

连接起点：4，连接终点：7，权值为：7
连接起点：2，连接终点：8，权值为：8
连接起点：0，连接终点：1，权值为：10
连接起点：0，连接终点：5，权值为：11
连接起点：1，连接终点：8，权值为：12
连接起点：3，连接终点：7，权值为：16
连接起点：1，连接终点：6，权值为：16
边7构成了回路
边8构成了回路
连接起点：6，连接终点：7，权值为：19
边10构成了回路
边11构成了回路
边12构成了回路
边13构成了回路
边14构成了回路
sum:99

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