0/0型极限（等价无穷小）

题目1：求 lim⁡x→0sin3x+ex−1x\lim_{x \rightarrow0} \frac{sin3x+e^{x}-1}{x}limx→0xsin3x+ex−1

答案：

lim⁡x→0sin3x+ex−1x\quad \lim_{x \rightarrow0} \frac{sin3x+e^{x}-1}{x}limx→0xsin3x+ex−1

=lim⁡x→03x+xx= \lim_{x \rightarrow0} \frac{3x+x}{x}=limx→0x3x+x

=4=4=4

题目2：求 limx→0ex2−cosxxln(1+x)lim_{x\rightarrow0} \frac{e^{x^{2}}-cosx}{xln(1+x)}limx→0xln(1+x)ex2−cosx

答案：

lim⁡x→0ex2−cosxxln(1+x)\quad \lim_{x\rightarrow0} \frac{e^{x^{2}}-cosx}{xln(1+x)}limx→0xln(1+x)ex2−cosx

=lim⁡x→0ex2−cosxx2=\lim_{x\rightarrow0} \frac{e^{x^{2}}-cosx}{x^{2}}=limx→0x2ex2−cosx

=lim⁡x→0(ex2−1)+(1−cosx)x2=\lim_{x\rightarrow0} \frac{(e^{x^{2}}-1)+(1-cosx)}{x^{2}}=limx→0x2(ex2−1)+(1−cosx)

=lim⁡x→0x2+12x2x2=\lim_{x\rightarrow0} \frac{x^{2}+\frac{1}{2}x^{2}}{x^{2}}=limx→0x2x2+21x2

=32=\frac{3}{2}=23

题目3：求 lim⁡x→0x−sinxx3\lim_{x\rightarrow0} \frac{x-sinx}{x^{3}}limx→0x3x−sinx

分析：

这道题可否像题目1，题目2一样，使用等价无穷项，把sinx替换为x，求得结果为0呢？答案是不行的！为什么有时候可以用等价无穷小，有时候又不行呢？

当计算 00\frac{0}{0}00 型极限时，想使用等价无穷小替换分子（分母）某一项，需要遵循以下规定：

如果分子（分母）为一些项乘积的形式，那么可以随便使用等价无穷小替换其中任意项。
如果分子（分母）为一些项求和的形式，那么当你想替换的项，其无穷小的阶数大于等于分母（分子）中最高的无穷小阶数，就可以替换，否则不行。

题目1和题目2都遵循了上述规定，这道题由于分子为两个1阶无穷小，分母为3阶无穷小，所以不能使用等价无穷小替换分子中的sinx。

这道题的正解是使用洛必达法则。

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