《雷达入门课 》系列文章（5）线性调频连续波雷达基本原理（第1讲）
本文编辑：调皮哥的小助理
本期内容主要讨论如下问题：
（1）调频连续波雷达如何估计目标的距离？
（2）调频连续波雷达如何探测多目标？
（3）调频连续波雷达能够探测多远？
（4）调频连续波雷达如何区分两个相邻目标？
- 什么是调频信号（chirp）？
众所周知，目前的雷达主要有两种体制，一种是脉冲雷达，另一种是连续波雷达。连续波雷达有非调制单频、多频，以及调频连续波雷达。调频连续波雷达主要有频率-时间函数呈三角波、锯齿波，以及正弦波等几种，而目前民用雷达通常采用的是锯齿波。
调频连续锯齿波波雷达发射调频信号，即为信号的频率随着时间增加的正弦波信号，如下图所示：
（图1.1 调频连续波时域-频域图）
上图的第一个图是时域信号，第二个是频域信号，可以看出调频信号的频率和信号的持续时间Tc是呈线性关系，因此这样的调频连续波又称为线性调频连续波（LFMCW）。
LFMCW有几个主要的参数需要注意，分别是发射最大带宽B，调频斜率S，发射脉冲周期Tc，发射信号起始频率fc。这几个参数将在后面会有重要的作用，谨记。
上面的信号中斜率 :
S = B / T c = 100 M H z / u s S=B / T c=100 M H z / u s S=B/Tc=100MHz/us
- 单发单收线性调频连续波雷达
顾名思义，单发单收雷达就是只有一个发射天线和一个接受天线，如下图所示。
图2.1 单发单收雷达
如上图所示，频率综合器（Synth）生成调频信号，由发射天线（Tx ant）发射出去，电磁波打到物体上反射回来的信号叫做回波信号，回波信号被接收天线(Rx ant)接收，然后与发射信号进行混频（mixer），得到中频信号（IF signal）。那么什么叫做混频呢？本科在高频电子线路中学习过，混频就是一个乘法器，将两个信号进行相乘，然后得到他们之间的信号频率差以及频率和。
（图2.2 混频器模型）
举个例子如：信号x1和信号x2是两个幅度相同，但是频率和相位不同的信号，经过混频（乘法）器之后，我们可以通过三角函数公式（积化和差）得到下面这个函数关系式，其中Xout就是混频之后的输出信号。
积化和差公式如下图所示：
sin α cos β = 1 2 [ sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ] cos α sin β = 1 2 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ] cos α cos β = 1 2 [ cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ] sin α sin β = − 1 2 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ] \begin{aligned} \sin \alpha \cos \beta &=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta &=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta &=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta &=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)] \end{aligned} sinαcosβcosαsinβcosαcosβsinαsinβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]=21[sin(α+β)−sin(α−β)]=21[cos(α+β)+cos(α−β)]=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]
这里的混频公式推导过程比较简单，具体的混频过程如果感兴趣可以看下面粗略的推导，混频的本质就是频谱搬移，分为上变频和下变频，一般我们用下变频，即差频信号，因此需要一个低通滤波器即可滤出我们所需要的信号。
上述公式如有看不明白，是因为正弦函数可以和余弦函数互换，叫做相位偏转90度。从频域角度分析，可以假设先x1和x2是如下两个信号：
x ( t ) ↔ X ( ω ) \mathrm{x}(\mathrm{t}) \leftrightarrow \mathrm{X}(\omega) x(t)↔X(ω)
c ( t ) ↔ C ( ω ) \mathrm{c}(\mathrm{t}) \leftrightarrow \mathrm{C}(\omega) c(t)↔C(ω)
x ( t ) c ( t ) ↔ 1 2 π [ X ( ω ) ∗ C ( ω ) ] \mathrm{x}(\mathrm{t}) \mathrm{c}(\mathrm{t}) \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi}[\mathrm{X}(\omega) * \mathrm{C}(\omega)] x(t)c(t)↔2π1[X(ω)∗C(ω)]
时域相乘等于频率卷积乘一个系数1/2π，因此X1和x2两个信号可以等同于下面等式：
cos ( ω c t ) ↔ π [ δ ( ω − ω c ) + δ ( ω + ω c ) ] \cos \left(\omega_c t\right) \leftrightarrow \pi\left[\delta\left(\omega-\omega_c\right)+\delta\left(\omega+\omega_c\right)\right] cos(ωct)↔π[δ(ω−ωc)+δ(ω+ωc)]
sin ( ω c t ) ↔ π [ δ ( ω + ω c ) − δ ( ω − ω c ) ] \sin \left(\omega_c \mathrm{t}\right) \leftrightarrow \pi\left[\delta\left(\omega+\omega_c\right)-\delta\left(\omega-\omega_c\right)\right] sin(ωct)↔π[δ(ω+ωc)−δ(ω−ωc)]
最终的混频结果便是冲激信号表示的等式，经过低通滤波器后只留差频信号。
- 什么是中频信号（IF signal）?
无线通信领域根据频率将信号分为三种，第一是射频（RF:Radio Frequency），中频（IF：IntermediateFrequency）,以及基带（Base Band）。
所以我们去翻译Intermediate单词时应该是中级的，不应该是中心的。中频只是表示信号频段的程度词，不是表示信号的状态词，意思就是说中频是指信号的频率不是很高，正好处于中间的地位。
通过混频之后出来的中频信号其实不止一个，通过乘法器之后有几个频段的信号，主要就是上述所讨论的和频信号以及差频信号，所以还需要经过低通滤波器筛选出我们所需要的信号，整个过程如下图所示。
（图3.1 中频信号流程图）
虽然很多时候，这部分信号是由模拟电路来完成，我们只是去配置硬件的寄存器，但是我们必须清楚信号的来龙去脉。
图3.2，是混频之后得到IF信号的模型图：
（图3.2 中频信号模型图）
雷达发射信号与回波信号之间的频率差就是中频信号，这个频率差就是混频之后经过低通滤波器得到的，我反复在这里讲这个问题，希望能够将理论和实际情况联系起来。由图6可知，这里的中频信号是一条直线，表示频率单一。
雷达测距的最基本公式是： d = c τ 2 d=\frac{c \tau}{2} d=2cτ
因此中频信号为： S τ = S ∗ τ = S ∗ 2 d c S_\tau=S^* \tau=\frac{S^* 2 d}{c} Sτ=S∗τ=cS∗2d，其中c是光速，τ是电磁波往返的时间。τ通常来讲特别小，如探测距离300m,调频周期Tc=40us，经过反推计算τ所占时间仅为τ/Tc=5%。S=B/Tc，是调频斜率。上述公式非常重要，这个公式后面会决定雷达的探距离关系，谨记。
那么为什么我们需要中频信号呢？答案就是因为中频信号能够映射出目标的距离信息，换句话说就是目标的距离不一样，返回的时间τ也就不一样，因此中频信号的频率大小也就不一样，可以说距离和中频信号是成映射关系的。
- 傅里叶变换
傅里叶变换的目的就是把时域信号映射到频域上去分析，傅里叶变换是一种函数变换，即从一种函数到另一种函数的映射过程，傅里叶变换也是最基本的一种泛函类型。
图4.1 傅里叶变换
有了傅里叶变换，我们可以从另一个角度对信号进行分析，展现信号的隐形特征，即信号的周期性。傅里叶变换在信号处理过程中比较重要的一个性质是频谱分辨力，即能够分辨两个不同频率信号差值的能力，差值越小越难以分辨，也就是两个信号之间的频率越是相近，越难以分辨。举个例子就像人的眼睛，越小的且靠的越近的物体难以分辨，有时候不得不借助显微镜才能看的清楚。但是有时候人们一般没有显微镜的条件，看不清楚就反复看，多次看，长时间看就可以更能看清楚了。
图4.2 傅里叶变换频谱分辨率
雷达也一样，既然一次看不清楚，那就两次，两次不行那就十次。我们通过长时间的观察，就能够越容易分辨出目标，也就是说观察时间越长，雷达的分辨率越高。但是有一点要注意，观察的时间间隔，同时也是一种周期性的信号，我们称之为调制周期干扰信号。调制信号随着混频可能会留在中频信号中，在雷达系统中会造成虚假的目标，所以我们后面进行处理的时需要滤除掉。
同时带来的矛盾问题是，调制周期干扰信号所代表的距离会被我们认为去掉，因此这个距离点会是雷达盲区点，不过一般来说影响不是很大。为什么长时间观察就会提高雷达的分辨力呢？这个问题留在后面距离分辨率的时候详细解答。
- 雷达探测多目标
雷达探测到多目标之后，首先会按照目标位置远近将不同的回波信号反射回来，经过混频之后得到几个频率不同的中频信号，如下图所示：
（图5.1 多目标中频信号）
不同的中频即代表不同的距离，傅里叶变换（FFT）之后的中频频谱如下：
（图5.2 多目标中频信号傅里叶变换）
不同的频谱代表不同距离的目标。
- 距离分辨率
距离分辨率的意思是雷达能够分辨多近的目标，按照之前论述的频谱分辨率理论，其实距离分辨率最终就是映射到频谱分辨率上的。下面详细论述。假设两个相距很近的目标，被雷达探测到，两个回波信号混频之后得到了两个中频信号，这两个中频信号的时间T相差很小，因此中频信号的频率相差很小，如下图所示：
（图6.1 邻近目标中频信号）
如果雷达没有能力分辨那么这两个目标就会被雷达当成是一个目标，两个目标的信息被融合了，这样的雷达就是瞎子雷达，不能够“明辨是非”。
图6.2 邻近目标频谱分辨率
那我们要让雷达分辨出这两个目标，应该采取什么样的办法呢？按照之前说的，看一次看不清，那就看两次，通过长时间多个周期的积累，那就看的清楚了。信号的长时间积累相当于采样点数增多，根据FFT的基本性质，采样点数多，频率间隔就小，自然频谱分辨率就大。
（图6.3 延长发射时间的频谱）
雷达在同一个发射脉冲之内，根据图3.2所示，长时间的观测代表着发射信号具有更大的带宽。
图6.4 雷达发射时间与带宽所以这里我们得到一个初步的结论，即发射信号的带宽增大，距离的分辨率会提高。下面我们一起来证明这个结论，首先我们之前得到中频信号的公式为：
S τ = S ∗ τ = S ∗ 2 d c S_\tau=S^* \tau=\frac{S^* 2 d}{c} Sτ=S∗τ=cS∗2d
这是单一的目标，而多目标的情况公式如下： Δ f = S ∗ 2 ∗ Δ d c \Delta f=\frac{S * 2 * \Delta d}{c} Δf=cS∗2∗Δd
其中，Δf是多目标之间的频率差，Δd是多目标之间的距离差。
图6.5 中频信号模型图根据频谱分辨率基本性质可知，频率分辨率Δf = fs/N,其中fs是采样频率，也是频谱的最高频率。所以可得频谱分辨率公式为：
Δ f = f s N = f s f s ∗ T c = 1 T c \Delta f=\frac{f s}{N}=\frac{f s}{f s^* T_c}=\frac{1}{T_c} Δf=Nfs=fs∗Tcfs=Tc1
根据图6.5，PRF=1/Tc，
只要Δf>1/Tc，雷达即可分辨出多目标得到频谱。因此可以推出：S2Δd / c >1/Tc，即推出：Δd>c/2STc=c/2B, (S*Tc=B,S为调频斜率)。所以结论为：雷达的距离分辨率只取决于发射信号的带宽，与其他一切参数无关。
Δ R = c 2 B \Delta R=\frac{c}{2 B} ΔR=2Bc
为什么雷达观测时间长了，频谱分辨率会提高，原因就在于图6.6中红框的中频信号在同一斜率下，信号的持续时间越长，带宽越大，因此频谱分辨率越高。
图6.6 观测时间
所以只要雷达的带宽一样，无论信号持续的时间、信号的调频斜率如何都不会影响到雷达的距离分辨率。图6.7 所示的两种调频斜率，其距离分辨率是一致的。
（图6.7 雷达带宽与距离分辨率）
几种典型的带宽和分辨率之间的关系：
本小节暂时结束，感谢阅读，下篇文章会继续分享干货
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