2021牛客暑期多校训练营2 F Girlfriend （阿波罗尼斯圆+简单几何）

F Girlfriend （阿波罗尼斯球+简单几何）

题目大意：
给定四个点，每两个点构成一个阿波罗尼斯球，求两圆相交部分的体积。
思路：
一看就是几何题啊，话不多说直接开淦。。。
首先对于阿波罗尼斯球的性质得到 ∣ P A ∣ = = K ∗ ∣ P B ∣ |PA| == K*|PB| ∣PA∣==K∗∣PB∣
假设 A （ x 0 , y 0 , z 0 ） A（x_0,y_0,z_0） A（x0,y0,z0）， B （ x 1 , y 1 , z 1 ） B（x_1,y_1,z_1） B（x1,y1,z1）那么我们有：

（ x − x 0 ） 2 + （ y − y 0 ） 2 + （ z − z 0 ） 2 = k ∗ k ∗ （（ x − x 1 ） 2 + （ y − y 1 ） 2 + （ z − z 1 ） 2 ）（x-x_0）^2+（y-y_0）^2+（z-z_0）^2=k*k*（（x-x_1）^2+（y-y_1）^2+（z-z_1）^2）（x−x0）2+（y−y0）2+（z−z0）2=k∗k∗（（x−x1）2+（y−y1）2+（z−z1）2）

整理得：

( 1 − k 2 ) ∗ x 2 + ( 1 − k 2 ) ∗ y 2 + ( 1 − k 2 ) ∗ z 2 + ( 2 ∗ k 2 ∗ x 1 − 2 ∗ x 0 ) ∗ x + ( 2 ∗ k 2 ∗ y 1 − 2 ∗ y 0 ) ∗ y + ( 2 ∗ k 2 ∗ z 1 − 2 ∗ z 0 ) ∗ z + x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 − k 2 ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) = 0 (1-k^2)*x^2+(1-k^2)*y^2+(1-k^2)*z^2+(2*k^2*x_1-2*x_0)*x+(2*k^2*y_1-2*y_0)*y+(2*k^2*z_1-2*z_0)*z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-k^2(x_1^2+y_1^2+z_1^2) = 0 (1−k2)∗x2+(1−k2)∗y2+(1−k2)∗z2+(2∗k2∗x1−2∗x0)∗x+(2∗k2∗y1−2∗y0)∗y+(2∗k2∗z1−2∗z0)∗z+x02+y02+z02−k2(x12+y12+z12)=0

由一般球的展开式可得：
x 2 + y 2 + z 2 + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0 x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0 x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0
整理得：
( x + a ) 2 + ( y + b ) 2 + ( z + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 − d (x+a)^2+(y + b)^2+(z + c)^2=a^2+b^2+c^2-d (x+a)2+(y+b)2+(z+c)2=a2+b2+c2−d
自此，我们其实做完了第一步准备工作，也就是求出固定k值球的半径。
r = a 2 + b 2 + c 2 − d r=\sqrt {a^2+b^2+c^2-d} r=a2+b2+c2−d
接下来我们要判断两球的位置，对于相离，内切，内含的情况，我们可以非常容易的求出其相交的体积，对于相交情况我们需要一个结论。
我们将两个球分开来看

对于这个球，我们要求 ∣ j k ∣ |jk| ∣jk∣以上部分的体积
（一）
由三重积分先面后线可得：
V = ∫ r − h r π ∗ y 2 d z V=\int_{r-h}^r{π*y^2dz} V=∫r−hrπ∗y2dz
而 z 2 + y 2 = r 2 z^2+y^2=r^2 z2+y2=r2
所以有 V = ∫ r − h r π ∗ ( r 2 − z 2 ) d y V=\int_{r-h}^r{π*(r^2-z^2)dy} V=∫r−hrπ∗(r2−z2)dy
得
V = π h 2 ( r − h / 3 ) V = πh^2(r-h/3) V=πh2(r−h/3)
（二）
可以由二重积分推导：
V = ∬ R 2 − x 2 − y 2 − ( R − h ) d x d y V=\iint\sqrt{R^2-x^2-y^2}-(R-h)dxdy V=∬R2−x2−y2 −(R−h)dxdy
利用极坐标形式进行代换：
V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 R h − h 2 ( R 2 − ρ 2 − ( R − h ) ) ρ d ρ V=\int_{0}^{2π}dθ\int_{0}^{\sqrt{2Rh-h^2}}(\sqrt{R^2-ρ^2}-(R-h))ρdρ V=∫02πdθ∫02Rh−h2 (R2−ρ2 −(R−h))ρdρ
整理上式也可得到相同结果。

至此所有的公式我们都已经推导出来，一一计算输出即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<queue>
#define pi 3.1415926535
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e6 + 10;
void volume(double r1x, double r1y, double r1z, double r2x, double r2y, double r2z, double r1, double r2) {double d = sqrt((r1x - r2x) * (r1x - r2x) + (r1y - r2y) * (r1y - r2y) + (r1z - r2z) * (r1z - r2z));if (d >= r1 + r2) {printf("%.3lf\n", 0);}else if (d + r2 <= r1) {printf("%.3lf\n", 4 * 1.0 / 3 * 1.0 * pi * r2 * r2 * r2);}else if (d + r1 <= r2) {printf("%.3lf\n", 4 * 1.0 / 3 * 1.0 * pi * r1 * r1 * r1);}else {double ans = 0;double cosa = (r1 * r1 + d * d - r2 * r2) / (2.0 * r1 * d);double h1 = r1 - r1 * cosa;ans += pi * h1 * h1 * (r1 - h1 / 3.0);double cosb = (r2 * r2 + d * d - r1 * r1) / (2.0 * r2 * d);double h2 = r2 - r2 * cosb;ans += pi * h2 * h2 * (r2 - h2 / 3.0);printf("%.3lf\n", ans);}
}
int main() {double x[5], y[5], z[5];int t;cin >> t;while (t--){for (int i = 1; i <= 4; i++) {cin >> x[i] >> y[i] >> z[i];}double k1, k2;cin >> k1 >> k2;double dishu1 = 1 - k1 * k1;double a1 = (k1 * k1 * x[2] - x[1]) / dishu1, b1 = (k1 * k1 * y[2] - y[1]) / dishu1, c1 = (k1 * k1 * z[2] - z[1]) / dishu1;double d1 = ((x[1] * x[1] + y[1] * y[1] + z[1] * z[1]) - (k1 * k1 * (x[2] * x[2] + y[2] * y[2] + z[2] * z[2]))) / dishu1;double r1 = sqrt(a1 * a1 + b1 * b1 + c1 * c1 - d1);double dishu2 = 1 - k2 * k2;double a2 = (k2 * k2 * x[4] - x[3]) / dishu2, b2 = (k2 * k2 * y[4] - y[3]) / dishu2, c2 = (k2 * k2 * z[4] - z[3]) / dishu2;double d2 = ((x[3] * x[3] + y[3] * y[3] + z[3] * z[3]) - (k2 * k2 * (x[4] * x[4] + y[4] * y[4] + z[4] * z[4]))) / dishu2;double r2 = sqrt(a2 * a2 + b2 * b2 + c2 * c2 - d2);volume(a1, b1, c1, a2, b2, c2, r1, r2);}
}

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