洛谷p1373 DP

传送门：洛谷p1373
这道题我原本的想法就是很简单的f[i][j][x][y][0/1];就是以第i，j格为终点的方案数目，可是即wa又mle ，最后看了看题解才比较了解。就是我们不去储存两个人瓶子各自有多少，而是去去一个差值，然后差值取模后相等的都是等价的，这里的取模是对k+1取模，因为瓶子差值就是[0,k]，所以对k+1取模。
用f[i][j][p][0/1]表示以ij结束的格子差值为p的由0或者1走到这一格子的方案数目。(0表示小a走的，1表示小b走的)
然后我们去对每个ij枚举他们瓶子的差值p
也就是
f[i][j][p][0]+=f[i-1][j][(p-value[i][j]+k)%k][1] (i-1>=1)

f[i][j][p][0]+=f[i][j-1][(p-value[i][j]+k)%k][1] (j-1>=1)

f[i][j][p][1]+=f[i-1][j][(p+value[i][j])%k][0] (i-1>=1)

f[i][j][p][1]+=f[i][j-1][(p+value[i][j])%k][0] (j-1>=1)
怎么理解这个式子。主要是在后面转移那里比较难理解。
我们看这个f[i][j][p][0]；他表示在ij结束的格子，差值为p，由小A走到的这一格子的方案数目。
我们设在ij这个格子小a瓶子有ka2，在小u瓶子有ku2;
所以ka2 - ku2 = p;
我们设在i-1,j(i,j-1同理)，j这个格子小a瓶子有ka1，在小u瓶子有ku1;
由于ij是由小a走的，所以
ka1 = ka2 - value[i][j];
ku1 = ku2;
联立一下也就是
ka1- ku1 = ka2 - value[i][j] - ku2 = p - value[i][j];

再看f[i][j][p][1] 他表示在ij结束的格子，差值为p，由小U走到的这一格子的方案数目。
我们设在ij这个格子小a瓶子有ka2，在小u瓶子有ku2;
所以ka2 - ku2 = p;
我们设在i-1,j(i,j-1同理)，j这个格子小a瓶子有ka1，在小u瓶子有ku1;
由于ij是由小u走的，所以
ka1 = ka2;
ku1 = ku2 - value[i][j];
联立可得
ka1 - ku1 = ka2 - (ku2 - value[i][j]) = p - value[i][j];
但是由于 p - value[i][j]可能减出个负数，所以我们+k在模k就好了;
我相信这样子这个方程已经能很清晰的理解了。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
const int max_ = 800 + 7;
const int p = 1e9 + 7;
inline int read() {int s = 0, f = 1;char ch = getchar();while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0'&&ch <= '9') {s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return s * f;
}
int f[max_][max_][17][2], value[max_][max_], n, m, k;
int main() {n = read(), m = read(), k = read(); k++;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {value[i][j] = read();f[i][j][value[i][j]%k][0] = 1;}}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {for (int z = 0; z <= k-1; z++) {if (i - 1 >= 1) {f[i][j][z][0] += f[i - 1][j][(z - value[i][j] + k) % k][1];f[i][j][z][0] %= p;f[i][j][z][1] += f[i - 1][j][(z + value[i][j]) % k][0];f[i][j][z][1] %= p;}if (j - 1 >= 1) {f[i][j][z][0] += f[i][j-1][(z - value[i][j] + k) % k][1];f[i][j][z][0] %= p;f[i][j][z][1] += f[i][j-1][(z + value[i][j]) % k][0];f[i][j][z][1] %= p;}}        }}int t = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {t = (t + f[i][j][0][1]) % p;}}cout << t;return 0;
}

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