【BZOJ2226】LCM SUM，数论之一维LCM（莫比乌斯反演）

Time:2016.06.18
Author:xiaoyimi
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思路：
一开始的我只能推出一个O(n√⋅n√=n)O(\sqrt n·\sqrt n=n)的式子（两次分块），但是O(Tn)O(Tn)的复杂度对于这道题并不科学……
后来发现求n以内与n互质的数的和可以O(1)求o_O
神奇的反演……
∑ni=1lcm(i,n)\sum^n_{i=1}lcm(i,n)
=∑ni=1nigcd(i,n)=\sum^n_{i=1}\frac{ni}{gcd(i,n)}
=∑ni=1∑nd=1ni[gcd(i,n)=d]d=\sum^n_{i=1}\sum^n_{d=1}\frac{ni[gcd(i,n)=d]}d
=∑ni=1∑nd=1[d|i][d|n]ni[gcd(id,nd)=1]d=\sum^n_{i=1}\sum^n_{d=1}[d|i][d|n]\frac{ni[gcd(\frac id,\frac nd)=1]}d
=∑nd=1∑ndi=1[d|n][gcd(i,nd)=1]i⋅n=\sum^n_{d=1}\sum^\frac nd_{i=1}[d|n][gcd(i,\frac nd)=1]i·n
=∑nd=1[d|n]n⋅f(nd)=\sum^n_{d=1}[d|n]n·f(\frac nd)
其中f(n)f(n)
=∑ni=1[gcd(i,n)=1]i=\sum^n_{i=1}[gcd(i,n)=1]i
=∑ni=1i∑nd=1[d|i][d|n]μ(d)=\sum^n_{i=1}i\sum^n_{d=1}[d|i][d|n]μ(d)
=∑nd=1[d|n]μ(d)⋅d∑ndi=1i=\sum^n_{d=1}[d|n]μ(d)·d\sum^\frac nd_{i=1}i
=∑nd=1[d|n]μ(d)⋅d⋅(nd+1)⋅nd/2=\sum^n_{d=1}[d|n]μ(d)·d·(\frac nd+1)·\frac nd/2
=∑nd=1[d|n]μ(d)⋅n⋅(nd+1)/2=\sum^n_{d=1}[d|n]μ(d)·n·(\frac nd+1)/2
通过φ=μ×id，e=μ×1φ=μ×id，e=μ×1
=n2(φ(n)+e(n))=\frac n2(φ(n)+e(n))
代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define M 1000004
#define LL long long
using namespace std;
int n,T;
int prime[M>>2],phi[M];
bool vis[M];
LL ans;
int in()
{int t=0;char ch=getchar();while (ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<3)+(t<<1)+ch-48,ch=getchar();return t;
}
LL cal(int n){return (LL)n*(phi[n]+(n==1))/2;}
main()
{for (int i=2;i<=M-4;i++){if (!vis[i])prime[++prime[0]]=i,phi[i]=i-1;for (int j=1;j<=prime[0];j++)if (i*prime[j]>M-4) break;else{vis[i*prime[j]]=1;phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-(i%prime[j]!=0));if (i%prime[j]==0) break;}}phi[1]=1;for (T=in();T;T--){n=in();ans=0;for (int d=1;d*d<=n;d++)if (n%d==0){ans+=cal(n/d);if (d*d<n) ans+=cal(d);}printf("%lld\n",ans*n);}
}

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