深度模型中的梯度消失和梯度爆炸

当神经网络的层数较多时，模型的数值稳定性容易变差。假设一个层数为L的多层感知机的第lll层H(l)H^{(l)}H(l)的权重参数为W(l)W^{(l)}W(l)，输出层H(L)H^{(L)}H(L)的权重参数为W(L)W^{(L)}W(L)。为了便于讨论，不考虑偏差参数，且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射ϕ(x)=x\phi(x)=xϕ(x)=x。给定输入XXX，多层感知机的第lll层的输出H(l)=XW(1)XW(2)...W(l)H^{(l)}=XW^{(1)}XW^{(2)}...W^{(l)}H(l)=XW(1)XW(2)...W(l)。此时，如果层数lll较大，H(l)H^{(l)}H(l)的计算可能会出现衰减或爆炸。

举个例子，假设输入和所有层的权重参数都是标量，如权重参数为0.2和5，多层感知机的第30层输出为输入XXX分别与0.230≈1×10−210.2^{30}\approx 1\times10^{-21}0.230≈1×10−21（衰减）和530≈9×10205^{30}\approx 9\times 10^{20}530≈9×1020（爆炸）的乘积。类似的，当层数较多时，梯度的计算也更容易出现衰减或爆炸。

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