复数乘法_初学讲义之高中数学十八:复数
复数很简单
虚数
在解一元二次方程
当
当
当
以上讨论是在实数范围内
这里很重要的一点,就是根号
那么如果里面的东西为负了,该怎么办呢?
在实数范围内,我们称它没有意义
现在,我们强行赋予它意义,具体什么意义后面再讲
我们规定:
i 叫作虚数单位
这样,所有根号下的负数都可以用 i 来表示
比如
也就是根号下的任何一个负数
都可以看做是
这样一个实数乘以i构成的数字叫作虚数
虚数是与实数相对应的
可以这么认为:
实数是实际存在于我们的真实空间的,比如整数就是我们用来数数的12345
整数互相相除得到的都是有理数(分数)
不能用分数表示的一些实数(比如π,e)就是无理数
虚数不存在于我们的真实空间,而是另一个“虚拟”的空间
它与整数差不多,只是多了一个“虚”的符号i
符号i的作用相当于把实数变“虚”了
就像是把现实中的物体放进镜子里的虚拟世界一样
复数
实数和虚数组合在一起,就构成了复数
由于实数和虚数是在不同的“空间”里,因此它们也要分别表示
因此复数表示为:
a+bi (a、b为实数)
这里a叫作实部,b(不是bi!)叫作虚部
当b=0时,0i=0复数就是a,也就是实数
当b≠0且a≠0时,这个复数也叫虚数
当b≠0且a=0时,复数就是bi,没有实数部分,叫作纯虚数
复数的基本运算
复数a+bi可以看做是关于i的多项式,实部就是常数项,虚部就是i的系数项
1. 加法和减法
两个复数相加,只要将实部和实部相加,虚部与虚部相加即可,即:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a、b、c、d为实数)
复数的加法也符合交换律、结合律,与实数的加法类似,非常简单
两个复数相减,只要将实部和实部相减,虚部与虚部相减即可,即:
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a、b、c、d为实数)
复数的减法就是加法的逆运算,与实数的减法类似
复数相等:
如果两个复数相等,则它们的实部和虚部分别相等。
反之,如果两个复数的实部和虚部分别相等,则这两个复数相等。
(a+bi)=(c+di)等价于a=c且b=d
2. 乘法与乘方
复数的乘法也很简单,可以看做是两个关于 i 的多项式相乘:
这里要注意的就是加减号别搞错了
复数的乘法也满足交换律、结合律、分配率,证明很简单不再给出
复数乘方与实数的乘方类似:
=
复数的乘方也满足
证明很简单不再给出
3. 除法
复数的除法原理很简单,但是计算要稍微复杂些
求
我们设结果为x+yi
只需要解方程
也就是方程组
解得
这个结论没必要背,现场推导很简单。
或者把除法看做是分数,直接在分子和分母上同时乘以分母的共轭复数,把分母化成实数也可以。
(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]=(ac+bd)/(cc+dd)+i*(bc-ad)//(cc+dd)
4. 开方和对数
复数的开方与除法类似,就是解方程,但是方程很难解,所以不需要掌握
复数的对数不需要掌握
小结
总的来说,复数的基本运算很简单,把它当做是关于i的多项式进行计算即可
记得
复数的几何意义
现在来探讨复数的几何意义
每组唯一的a、b,确定唯一的复数a+bi
是不是和平面直角坐标系很像?
每组唯一的a、b也确定平面中唯一的点(a,b)
并且,平面直角坐标系中横坐标和纵坐标是相互独立、可以互相转化的,复数中的实部与虚部也是相互独立、可以互相转化的
复平面
在平面上画两条互相垂直的数轴,把它们的交点定义为各自的0点,再分别规定好正方向,就构成了————平面直角坐标系
也可以是复平面
通常,我们定义横着的那条数轴(平面直角坐标系中的x轴)叫作实轴,向右为正方向
竖着的那条数轴(平面直角坐标系中的y轴)叫作虚轴
每个虚数a+bi和复平面上的点(a,b)一一对应
这里a就是它在实轴上对应的值,b就是它在虚轴上对应的值
复数的加法和减法
一组坐标(a,b)除了可以表示点以外,还可以表示向量
虚数的加法和减法与向量的加法和减法类似
实部+实部对应横坐标+横坐标
虚部+虚部对应纵坐标+纵坐标
互不干扰
复数的模
向量(a,b)的模定义为
这里定义复数a+bi的模也是
如果b=0,那么它的绝对值就是
(1)复数的模有几个很好用的性质,
这个分别设两个复数a+bi和c+di,很容易证明
(2)用同样方法容易证明:
用数学归纳法结合(1)很容易证明:
共轭复数
规定实部相同,虚部互为相反数的两个复数,互为共轭复数,它们互相共轭,即
a+bi和a-bi互为共轭复数
共轭复数的模相等(
共轭复数的乘积等于它们的模的平方(
共轭复数在复平面中关于实轴镜面对称(很容易想象)
共轭复数其实只是一个概念,没有什么太多的内容
*i
到这里,i好像除了作为一个符号,把虚部和实部“隔离”开来,好像也没什么意思
在复平面上,它有一个几何含义:
任意复数乘以i,就是将它逆时针旋转π/2,乘以
乘以
来看4个复数:
其中
把这四个复数转化为对应的向量:
(a,b)
(-b,a)
(-a,-b)
(b,-a)
依次逆时针旋转π/2
下面是具体的例子:a=4,b=2
其他
由于i的特殊性质:
构成一个一4为周期的循环
虚数经常出现在等比数列有关的题目中
练习:
请自行列出下面两个数列的前8项,并找规律
小结
总的来说,复数的内容相对简单且孤立,通常是单独出现,考察最多的是关于复数基本定义基本性质的数学计算
复数较多出现的综合题目是在等比数列中,考察 i 的特殊性质,但往往也很简单
复平面和平面直角坐标系没有本质区别,只是多引入了个 i,可以视作对向量进行操作的算符
与i直接相乘是最简单的逆时针旋转π/2,(更简单的是与1相乘,什么都没变)
任何向量(p,q)与复数a+bi相乘,相当于做了一个数学上的旋转+拉伸变换,如果|a+bi|=1,相当于只做了旋转,可能是一个考点。
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