瑞利分布与卡方分布的联系

引入

今天在思考两个服从正态分布的随机变量的模服从什么分布时，想起了瑞利分布和卡方分布这两个分布，最后查到是服从瑞利分布，但是感觉和卡方分布也有关系。当我以“瑞利分布”和“卡方分布”作为关键词搜索时却没查到什么，所以就写一篇这样的文章出来，以抛砖引玉。

瑞利分布(Rayleigh Distribution)：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、均值为000，有着相同的方差（设为σ2\sigma^2σ2）的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。其概率密度函数如下：

fZ(z)={zσ2exp⁡(−z22σ2)z≥00z<0f_Z(z) = \left\{ \begin{matrix} \frac{z}{\sigma^{2}}\exp{(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}})} & z \geq 0 \\ 0 & z < 0 \\ \end{matrix} \right.fZ(z)={σ2zexp(−2σ2z2)0z≥0z<0

瑞利分布-百度百科

卡方分布(Chi-square Distribution)：若nnn个相互独立的随机变量均服从标准正态分布（即均值为0，方差为1的正态分布），则这nnn个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方(χ2\chi^2χ2)分布。其概率密度函数如下：

gM(m)={12n/2Γ(n/2)zn/2−1exp⁡(−m/2)m≥00m<0g_M(m) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}z^{n/2-1}\exp{(-m/2)} & m \geq 0 \\ 0 & m < 0 \\ \end{matrix} \right.gM(m)={2n/2Γ(n/2)1zn/2−1exp(−m/2)0m≥0m<0
卡方分布-百度百科

此处f(z),g(m)f(z),g(m)f(z),g(m)仅代指概率密度函数，对应地，F(z),G(m)F(z),G(m)F(z),G(m)分别代指概率分布函数，Γ\GammaΓ为伽马(Gamma)函数。

联系

对于一个二维随机向量X=(x,y)T\boldsymbol{X} = (x,y)^TX=(x,y)T，其中x,y∼N(0,σ2)x,y \sim N(0, \sigma^2)x,y∼N(0,σ2)，其模长∣X∣=x2+y2|\boldsymbol{X}| = \sqrt{x^2+y^2}∣X∣=x2+y2，不妨设为zzz，则根据定义，zzz服从瑞利分布。

根据概率论的知识，x−0σ∼N(0,1)\frac{x-0}{\sigma} \sim N(0,1)σx−0∼N(0,1)，即服从标准正态分布，所以：
(xσ)2+(yσ)2=x2+y2σ2=m∼χ2(2)(\frac{x}{\sigma})^2 + (\frac{y}{\sigma})^2 = \frac{x^2+y^2}{\sigma^2} = m \sim \chi^2(2)(σx)2+(σy)2=σ2x2+y2=m∼χ2(2)

将n=2n=2n=2代入上方公式，得：

gM(m;n=2)={12exp⁡(−m/2)m≥00m<0g_M(m; n=2) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2}\exp{(-m/2)} & m \geq 0 \\ 0 & m < 0 \\ \end{matrix} \right.gM(m;n=2)={21exp(−m/2)0m≥0m<0

将zzz代入，得：
z2σ2=m∼χ2(2)\frac{z^2}{\sigma^2} = m \sim \chi^2(2)σ2z2=m∼χ2(2)

m(z)=z2σ2,z≥0m(z) = \frac{z^2}{\sigma^2}, z \geq 0m(z)=σ2z2,z≥0。再根据概率论的知识，设此时zzz的概率分布函数为HZ(z)H_Z(z)HZ(z)，概率密度函数为hZ(z)h_Z(z)hZ(z)：

HZ(z)=P(Z≤z)=P(σ2M≤z)=P(M≤z2σ2)H_Z(z) = P(Z \leq z) = P(\sqrt{\sigma^2 M} \leq z) = P(M \leq \frac{z^2}{\sigma^2})HZ(z)=P(Z≤z)=P(σ2M≤z)=P(M≤σ2z2)

（此处大写MMM表明是左侧的符号，代入m(z)m(z)m(z)进去）

hZ(z)=(z2σ2)′⋅gM(z2σ2)=(2zσ2)⋅gM(z2σ2)={zσ2exp⁡(−z2/2σ2)z≥00z<0h_Z(z) = (\frac{z^2}{\sigma^2})' \cdot g_M(\frac{z^2}{\sigma^2}) = (\frac{2z}{\sigma^2}) \cdot g_M(\frac{z^2}{\sigma^2}) = \left\{ \begin{matrix} \frac{z}{\sigma^2}\exp{(-z^2/2\sigma^2)} & z \geq 0 \\ 0 & z < 0 \\ \end{matrix} \right.hZ(z)=(σ2z2)′⋅gM(σ2z2)=(σ22z)⋅gM(σ2z2)={σ2zexp(−z2/2σ2)0z≥0z<0

正是瑞利分布。

所以，服从瑞利分布的随机变量，其平方服从自由度为222（即n=2n=2n=2）的卡方分布。

上述推导可以反过来，即已知z(m)=σ2m,m≥0z(m) = \sqrt{\sigma^2 m}, m \geq 0z(m)=σ2m,m≥0，
fZ(z)={zσ2exp⁡(−z22σ2)z≥00z<0f_Z(z) = \left\{ \begin{matrix} \frac{z}{\sigma^{2}}\exp{(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}})} & z \geq 0 \\ 0 & z < 0 \\ \end{matrix} \right.fZ(z)={σ2zexp(−2σ2z2)0z≥0z<0

fM(m)=(σ2m)′⋅fZ(σ2m)=σ2mfZ(σ2m)={12exp⁡(−m2)m≥00m<0f_M(m) = (\sqrt{\sigma^2 m})' \cdot f_Z(\sqrt{\sigma^2 m}) = \frac{\sigma}{2\sqrt{m}}f_Z(\sqrt{\sigma^2 m}) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2}\exp{(-\frac{m}{2})} & m \geq 0 \\ 0 & m < 0 \\ \end{matrix} \right.fM(m)=(σ2m)′⋅fZ(σ2m)=2mσfZ(σ2m)={21exp(−2m)0m≥0m<0
正是自由度为2的卡方分布。

若能给予帮助，还望点一个小小的赞，不胜感激。

瑞利分布与卡方分布的联系相关推荐

图论的起源：柯尼斯堡七桥（一笔画）问题与欧拉路径/回路
柯尼斯堡七桥问题大数学家欧拉一生中的大部分时间在俄国和普鲁士度过.1735年,他提出了著名的柯尼斯堡七桥(Seven Bridges of Königsberg)问题: 柯尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒 ...
概率论-分布函数（高斯分布、复高斯分布、瑞丽分布、Nakagami-m分布、均匀分布、卡方分布）
文章目录 4.3.1 连续型随机变量正态(高斯)分布图形特征性质 Independent Gaussian ±\pm± Gaussian Gaussian ×/÷\times/ \div×/÷ ...
matlab卡方分布函数,MATLAB如何使用ncx2pdf函数计算非中心卡方分布的概率密度
MATLAB如何使用ncx2pdf函数计算非中心卡方分布的概率密度 [语法说明] Y=ncx2pdf(X,V,DELTA):计算X中各元素在参数V.DELTA指定下的非中心卡方分布概率密度函数值.X与 ...
概率论与数理统计复习一（伽马函数、正态分布、瑞利分布、线性相关、独立）
目录各种分布正态分布引理瑞利分布期望与方差泊松分布期望与方差指数分布期望与方差指数分布的min.max.和 Z=min{X,Y}Z = min\{X,Y\}Z=min{X,Y} Z ...
matlab生成卡方分布,科学网—Matlab 生成随机数大全 - 强幸子的博文
高斯分布随机数生成 randn(a):生成一个a*a的标准高斯(正态)分布的随机阵. randn(a,b)或者randn([a,b]): 生成一个a行b列的标准高斯分布的随机阵. m+sqrt(n)* ...
matlab卡方分布的随机数,MATLAB产生随机数
(1)用计算机产生的是"伪随机数".用投色子计数的方法产生真正的随机数 , 但电脑若也这样做 , 将会占用大量内存 ; 用噪声发生器或放射性物质也可产生真正的随机数 , 但不可重复 ...
matlab中卡方分布名称,非中心卡方分布
(N, delta,m,n) 参数为 N,delta 的非中心卡方分布随机数 r... 非中心卡方分布的概率密度函数泊松分布的概率密度函数雷利分布的概率密度函数学... 非中心卡方分布的概率密度 ...
R语言卡方分布函数Binomial Distribution（dchisq, pchisq, qchisq rchisq）实战
R语言卡方分布函数Binomial Distribution(dchisq, pchisq, qchisq & rchisq)实战目录 R语言卡方分布函数Binomial Distribut ...
R可视化绘制卡方分布图（Chi-Square Distribution）
R可视化绘制卡方分布图(Chi-Square Distribution) 目录 R可视化绘制卡方分布图(Chi-Square Distribution) 卡方分布图(Chi-Square Distri ...

瑞利分布与卡方分布的联系

引入

联系

瑞利分布与卡方分布的联系相关推荐

最新文章

热门文章