非参数bootstrap方法

设总体分布FFF未知，但是有一个容量为n" role="presentation" style="position: relative;">nnn的来自分布FFF的数据样本，自这一样本按照放回抽样的方法抽取一个容量为n" role="presentation" style="position: relative;">nnn的样本，这种样本被称为bootstrapbootstrapbootstrap样本或自助样本。

相继的，独立地自原始样本中取很多个bootstrapbootstrapbootstrap样本,利用这些样本对总体FFF进行统计推断，这种方法称为非参数bootstrap" role="presentation" style="position: relative;">bootstrapbootstrapbootstrap方法又称自助法

这种方法可以用于当人们对总体知之甚少的情况。

估计量的标准误差的bootstrap估计

在估计总体未知参数θθ\theta时，人们不但要给出θθ\theta的估计θ^θ^\hat\theta,还需要指出这一估计θ^θ^\hat\theta的精度，通常我们使用估计量θ^θ^\hat\theta的标准差D(θ^)−−−−√D(θ^)\sqrt{D(\hat\theta)}来度量估计的精度。估计量θ^θ^\hat{\theta}的标准差σθ^=D(θ^)−−−−√σθ^=D(θ^)\sigma_{\hat{\theta}}=\sqrt{D(\hat\theta)}也称为估计量θ^θ^\hat\theta的标准误差

设X1,X2,⋯,XnX1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_n是来自以F(x)F(x)F(x)为分布函数的总体的样本，θθ\theta是我们感兴趣的未知参数，用θ^=θ^(X1,X2,⋯,Xn)θ^=θ^(X1,X2,⋯,Xn)\hat\theta=\hat\theta(X_1,X_2,\cdots,X_n)作为θθ\theta的估计量，在应用中θ^θ^\hat\theta的抽样分布通常是很难处理的，这样D(θ)−−−−√D(θ)\sqrt{D(\theta)}没有一个简单的表达式，不同我们可以采用计算机模拟的方法求得D(θ^)−−−−√D(θ^)\sqrt{D(\hat\theta)}的估计。
为此可以从FFF中产生很多容量为n" role="presentation" style="position: relative;">nnn的样本(例如BBB个)，对于每一个样本计算θ^" role="presentation" style="position: relative;">θ^θ^\hat\theta的值，得到θ^1,θ^2,⋯,θ^Bθ^1,θ^2,⋯,θ^B\hat\theta_1,\hat\theta_2,\cdots,\hat\theta_B，则D(θ^)−−−−√D(θ^)\sqrt{D(\hat\theta)}可以用：

σ^θ^=1B−1∑i=1B(θ^i−θ¯¯¯)2−−−−−−−−−−−−−−−⎷σ^θ^=1B−1∑i=1B(θ^i−θ¯)2

\hat\sigma_{\hat\theta}=\sqrt{\dfrac{1}{B-1}\sum_{i=1}^{B}(\hat\theta_i-\overline\theta)^2}来估计，其中 θ¯¯¯=1B∑Bi=1θ^θ¯=1B∑i=1Bθ^\overline{\theta}=\dfrac{1}{B}\sum_{i=1}^{B}\hat\theta_i

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