如何判断一个数是不是一个完全平方数？

在不使用浮点函数sqrt的情况下,我们有一些比较好的算法：

1.利用恒等式： 1+3+5+7+....+(2*n-1)=n^2

bool isSqrt( int n)
{
for ( int i = 1 ;n > 0 ;i += 2 ) n -= i;
return 0 == n;
}

下面是一些关于完全平方数的数学性质：

对排除完全平方数有一定的加速作用：

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对於n位数，也可以仿此法予以证明。
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明充分性：设b为平方数，则
==(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2 < k^2 < (n+1)^2
则k一定不是完全平方数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

如何判断一个数是不是完全平方数相关推荐

python判断一个数是不是完全平方数
思路: 完全平方数开根号后是一个整数,非完全平方数开根号的话是一个非整数开根号后取整,如果开根号后是整数的话就不会改变值的大小取整后再平方,如果值和之前一样,说明是完全平方数 import mat ...
php判断无理数,如何快速判断一个数的开方是不是无理数？
引言: 学习完了统计之后,我们开始学习了实数,和我们之前学到了一些有理数,以及对无理数的一些认识进行了简单的回顾后,我们又对实数进行了深一步的探索,并掌握了一种新的运算是乘方的逆运算--开方最初接触 ...
完全平方数：若一个整数n能表示成某个整数m的平方的形式，则称这个数为完全平方数。写一个程序判断输入的整数是不是完全平方数。
标题完全平方数类别基本计算时间限制 1S 内存限制 256Kb 问题描述若一个整数n能表示成某个整数m的平方的形式,则称这个数为完全平方数.写一个程序判断输入的整数是不是完全平方数. 输入说 ...
算法 Tricks（六）—— 判断一个数是否为完全平方数
int(sqrt(n)) * int(sqrt(n)) == n ? 1:0; matlab 下判断一个数是否能开方的判断是: floor(sqrt(m))^2 == m
c++输入一个整数判断是否为完全平方数_matlab判断一个整数是完全平方数
(C语言c++)判断一个数是否是完全平方数的整数倍 #include#includeint ispow(int x){ int& 用c编判断一个数是否是完全数 #include#in ...
判断一个数为多少位比如 3 是 1位 102 是3位。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 //判断一个数为多少位比如 3 是 1位 102 是3位. #include <iostream> us ...
python判断一个数是整数、浮点数还是字符串
python判断一个数是整数.浮点数还是字符串示例代码:
C语言判断一个数是否是回文数
C语言判断一个数是否是回文数 #include <stdio.h> int main(){int num, s, y = 0;printf("请输入一个数字: ");s ...
c语言判断2 1000素数,2是不是素数(C语言判断一个数为素数)
我听说西方不承认2是质数,而中国承认到底是不是真的 2是质数.质数又称素数.一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做质数:否则称为合数.2是一个大于1的自然数,这一点满足质数 ...

如何判断一个数是不是完全平方数

如何判断一个数是不是一个完全平方数？

如何判断一个数是不是完全平方数相关推荐

最新文章

热门文章