数据的表示和运算

(一)数制与编码

进位计数制及其相互转换

进制：

不同进制数之间的相互转换

真值和机器数

BCD码

字符与字符串(了解)

校验码

1.奇偶校验码

海明(汉明)校验码

循环冗余校验(CRC)码

相关一些知识

源补码的转换规律

定点数的运算

源码定点数的加减法运算

定点数的乘法运算

原码一位乘法

补码一位乘法

定点数的除法运算

原码除法运算(不恢复余数法)

补码除法运算(加减交替法)

(一)数制与编码

进位计数制及其相互转换

进制：

二进制。计算机中用得最多的是基数为2的计数制，即二进制。二进制只有0和1两种

数字符号，计数“逢二进一”。它的任意数位的权为2i, i为所在位数。

八进制。八进制作为二进制的一种书写形式，其基数为8，有0~7共8个不同的数字符

号，计数“逢八进一”。 因为r=8=23, 所以只要把二进制中的3位数码编为组就是一

位八进制数码，两者之间的转换极为方便。

十六进制。十六进制也是一进制的一 种常用书写形式， 其基数为16,“逢十六进一”。每个

数位可取0-9.A.B、C.D、E、F中的任意一个，其中A、B、C、D、E、F分别表示10~15。因为r=16=24,因此4位进制数码与1位十六进制数码相对应

不同进制数之间的相互转换

(1)二进制数转换为八进制数和十六进制数

在转换时应以小数点为界。

整数部分：在从小数点开始往左数，将一串二进制数分为3位(八进制)一组或4位(十六进制)一组，在数的最左边可根据需要加“0”补齐；对于小数部分，从小数点开始往右数，也将一串二进制分为3位一组或4位一组，在数的最右边也可以根据需要加“0”补齐。最终使总的位数为3或4的整数倍，然后分别用对应的八进制数或十六进制数取代；

例： 将二进制数 1111000010.01101 分别转换为八进制数和十六进制数

(2)任意进制数转换为十进制数

将各位数码与他们的权值相乘在相加。

(3)十进制数转换为任意进制数

通常采用基数相乘法，对整数部分用除基取余法，对小数部分用乘基取整法，最后将整数和小数拼接在一起。

例：将十进制数123.6875转换成二进制数

整数部分

小数部分：

结果为：(1111011.1011)2

注意：小数和整数不一样，整数可以连续表示，但小数是离散的。二进制的小数只能表示1/2,1/4，……，1/2n,因此无法表示所有的十进制小数。

真值和机器数

带“+”或“-”符号的数为真值。

用0,1这种表示正负的数称为机器数。

BCD码

二进制编码的十进制通常采用4位二进制数来表示一位十进制数中的0~9这十个数码。但4位二进制数可以组合出16种代码，因此必有6种状态为无效码。

(1)8421码：

权值按8,4，2,1由高到低来表示。若两个8421码相加之和小于等于(1001)2即(9)10，则不需要修正；若相加之和大于等于(1001)2即(9)10，则要加6修正(从1010到1111这六个为无效码)

(2)余3码

这个是在8421码的基础上加(0011)2形成的，因为每个数都余“3”，因此称为余3码。

(3)2421码

也是一种有权码，权值按2，4，2,1由高到低来表示。特点是大于等于5的4位二进制数中最高位为1，小于5的最高位为0.如5→1011而非0101.

字符与字符串(了解)

ASCII码：表示10个十进制数码，52个英文大写字母和小写字母以及一定量的专用符号(如$、%、^、&、*)，共128个字符。

汉字的表示和编码

校验码

1.奇偶校验码

码距为等于2，可以检测出一位错误(或奇数位错误)，但不能确定出错的位置，也不能够检测出偶数位错误，增加的冗余位称为奇偶校验位。

奇校验码：整个校验码(有效信息位和校验位中)“1”的个数为奇数。

偶校验码：整个校验码(有效信息位和校验位中)“0”的个数为偶数。

例 ：

1001101 11001101(奇校验) 01001101(偶校验)

1010111 01010111(奇校验) 11010111(偶校验)

海明(汉明)校验码

实现原理：

在有效信息位中加入几个校验位形成海明码，并把海明码的每个二进制位分配到几个奇偶校验组中。当某一位出错后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现错位，还能指出错位的位置，为自动纠错提供依据。

L-1=D+C且D>=C

L:编码最小码距 D：检测错误的位数 C:纠正错误的位数

在海明码中，为了达到检测和纠正一位错，校验的位数k应满足2k>=n+k+1,其中n为信息位的位数.若在纠正一位错的情况下还要能够发现两位错，则还需在增加一位校验位，即需要满足2k-1-1>=n+k

循环冗余校验(CRC)码

CRC接收端检测出某一位数据错误后，纠正的方法是：1.请求重发2.删除数据3.通过余数值自动纠正。

相关一些知识

ASCII编码：使用8位二进制代码，最右边一位是0。

ASCII码由7位二进制代码表示，从000000到11111共128种编码。但由于字节是计算

机存储的基本单元，ASCI码仍以一字节存入一个ASCII字符，只是每字节中多余的一 位即最高

位(最左边-位)在机内部保持为“0”。

校验码：1.任意两个码字之间最少变化的二进制位数称为码距，码距大于等于2的数据校验码开始具有检错的能力。2.码距越大，检错、纠错能力越强。奇偶校验码的码距等于2，可以检测出一位错误(或奇数位错误)，但不能确定出错的位置，也不能检测出偶数位错误；海明码的码距大于2，因此不仅可以发现错误，还能指出错误的位置。3.仅靠增加奇偶校验位的位数不能提高正确性，还要考虑码距。

在大量数据传送的过程中，常用且有效的校验法是CRC校验。

源补码的转换规律

定点数的运算

源码定点数的加减法运算

加法规则：先判符号位，若相同，则绝对值相加，结果符号位不变；若不同，则做减法，绝对值大的数减去绝对值小的数，结果符号位与绝对值大的数相同。

减法规则：两个原码表示的数相减，首先将减数与符号取反后的减数按原码加法进行运算。

注意：运算时注意机器字长，当左边位出现溢出时，将溢出位丢掉。

3.补码定点数加减法运算

参与运算的两个操作数均用补码表示。

按二进制运算规则运算，逢二进一。

符号位与数值位按同样规则一起参与运算，符号位运算产生的进位要丢掉，结果的符号位由运算得出。

补码加减运算依据下面的公式进行。当参加运算的数是定点小数时，模M=2；当参加运算的数是定点整数时，模M=2n+1。

[A+B]补=[A]补+[B]补(mod M)

[A-B]补=[A]补+[ - B]补(mod M)

注意：mod M运算是为了将溢出位丢掉。

补码运算的结果亦为补码。

定点数的乘法运算

原码一位乘法

原码一位乘法的特点是符号位与数值位是分开求的，乘积符号由两个数的符号位“异或”形成，而乘积的数值部分则是两个数的绝对值相乘之积。

设[X]原=xs.x1x2……xn,[Y]原=ys.y1y2……yn,则运算规则如下：

(1)被乘数和乘数均取绝对值参加运算，符号位为xs异或ys。

(2)部分积的长度同被乘数，取n+1位，以便存放乘法过程中绝对值大于等于1的值，初值为0.

(3)从乘数的最低位yn开始判断：若yn=1，则部分积加上被乘数|x|,然后右移一位；若yn=0，则部分积加上0，然后右移一位。

(4)重复步骤(3)，判断n位

注意：考虑到运算时可能出现绝对值大于1的情况(但此刻并非溢出)，所以部分积和被乘数取双符号位。

补码一位乘法

这是一种有符号数的乘法，采用相加和相减操作计算补码数据的乘积。

设[X]补=xs.x1x2……xn,[Y]补=ys.y1y2……yn,则运算规则如下：

(1)符号位参与运算，运算的数均以补码表示。

(2)被乘数一般取双符号位数进行运算，部分积取双符号位，初值为0，乘数可取单符号位。

(3)乘数末位增设附加位yn+1，且初值为0.

(4)根据(yn，yn+1)的取值来确定操作，见表2.2.

表2.2 Booth 算法的移位规则

yn(高位)

yn+1(低位))

操作

0

0

部分积右移一位

0

1

部分积加[X]补，右移一位

1

0

部分积加[-X]补,右移一位

1

1

部分积右移一位

(5)移位按补码右移规则进行。

(6)按照上述算法进行n+1步操作，但第n+1步不再移位(共进行n+1次累加和n次右移)，仅根据yn与yn+1的比较结果做相应的运算。

定点数的除法运算

在计算机中，除法运算可转换成“累加——左移”(逻辑左移)，根据机器数的不同，可分为原码除法和补码除法。

原码除法运算(不恢复余数法)

原码除法主要采用原码不恢复余数法，也称原码加减交替除法。特点是商符和商值是分开进行的，商符由两个操作数的符号位“异或”形成。求商值的规则如下。

设被除数[X]原=xs.x1x2x3……xn，除数[Y]原=ys.y1y2y3……yn。

(1)商的符号：Qs=xs异或ys。

(2)商的数值：|Q|=|X|/|Y|。

求|Q|的不恢复余数法运算规则如下。

(1)符号位不参加运算。

(2)先用被除数减去除数(|X|-|Y|=|X|+(-|Y|)=|X|+|[-Y|]补)，当余数为正时，商上1，余数和商左移一位，在减去除数；当余数为负时，商上0，余数和商左移一位，在加上除数。

(3)当第n+1步余数为负时，需加上|Y|得到第n+1步正确的余数(余数与被除数同号)。

补码除法运算(加减交替法)

补码一位除法的特点是，符号位与数值位一起参加运算，商符自然形成。除法第一步根据被除数和除数的符号决定是做加法还是减法；上商的原则根据余数和除数的符号位共同决定，同号上商“1”，异号上商“0”；最后一步商恒置“1”。

加减交替法的规则如下：

(1)符号位参加运算，除数与被除数均用补码表示，商和余数也用补码表示。

(2)若被除数与除数同号，则被除数减去除数；若被除数与除数异号，则被除数加上除数。

(3)若余数与除数同号，则商上1，余数左移一位减去除数；若余数与除数异号，则商上0，余数左移一位加上除数。

(4)重复执行第(3)步操作n次。

(5)若对商的精度没有特殊要求，则一般采用“末位恒置1”法。