洛伦兹吸引子相图的简易实现.pdf

洛伦兹吸引子相图的简易实现 晏志武 ( 临沧市临翔区第一中学 云南 临沧 ) ( 收稿日期 ) 摘要 用平面动画软件 绘制出高质量的洛伦兹吸引子相图 关键词 洛伦兹吸引子 相图 爱德华洛伦兹在 世纪 年代根据流体力 学中的纳维叶斯托克斯方程、 热传导方程和连续 性方程得出了一组气象学微分方程这是一组毫不 起眼的方程， 但洛伦兹所采用的电脑数值计算和绘 制相图的方法却影响深远 这组方程后来被命名为 洛伦兹吸引子， 因其中的一张典型相图酷似蝴蝶又 被称为“ 洛伦兹的蝴蝶” 洛伦兹以此开创了计算机 研究复杂非线性问题的先河 洛伦兹微分方程组 () 其中， 是对流的翻动速率，正比于上层与下层液 体间的温差， 是垂直方向的温度梯度， 是一 个无量纲因子， 叫做 数， 是速度阻 尼常量， 是相对瑞利数 微分方程组转化为差分方程组 现在普遍使用的数学运算软件是 或 ， 二者都要求具备比较好的数学基础 和编程能力 笔者设想使用 动画软件实现上 述方程组的计算和绘图， 但 处理不了微分方 程， 因此， 要先将微分方程组转化为下列差分方程组 () ( ) ( ) 我们知道， 当变量时， 差分就变成微分 了 实际计算时只要足够小即可取得误差符合要 求的结果 简单编程实现 程序共有个图层、帧 ( )第图层第帧放置个斜二侧作图实例 ( 这其实就是一个大小合适的黑色圆点元件 分身) ， 个变量名为的输入文本框和个控制程 序运行或暂停的按钮， 第 ， 第 帧均为普通帧 ( )第图层为代码层 第帧( 关键帧)设定初值 ； ； ( ) ； 的默认 值为 ， 可通过第图层的输入文本框改设为其他 值 ； ； ； ； 足够小时， 差分方程的运算 结果才能充分地近似于微分方程 第帧( 关键帧)迭代运算和绘图 (， ) ； 以下行设置分量 图绘图实例 ， ， 的初始位置， 是时间值 (， ) ； (， ) ； ()； 以下行计算差 分值 ( )； ( )； ； 以下行完成迭代 年第 期 物理通报 教育技术应用 ； ； ( ) ( ) ； 以下行计算“ 斜二侧作图法”的位置坐标 () ( ) ； ； 更新时间值 ； 记录迭代次数 (， ) ； 以下行完成第次 以 ， ，为纵坐标，为横坐标的分量图绘制 (， ) ； (， ) ； “ “ ； 生成斜二侧图绘图点 ( “ “ ， ，) ； 复 制绘图实例 ( 放置于第图层) ( ) ； 以下行设置 绘图点坐标 ( ) ； 第帧( 关键帧) () ； 回到第帧作重复地迭代 计算 相图和分量图举例 系数，和变量， ，的初值确定，取不同 的值将得到显著不同的图形见表， 由此可以看到 方程组对的高度敏感性 表 取不同值对应的图形 相 图分量图及其说明 系 统 迅 速 稳 定到 一 个 吸引点， 这是一个“ 平庸吸 引子” 系 统 稳 定 到 另一 个 吸 引点， 这也是一个“ 平庸吸 引子” 续表 相 图分量图及其说明 系统环绕着两个吸 引 点运动， 但每一次都不会 重复上一次的轨道 轨道 既不收敛到极限环上也不 跑掉， 这是一个“ 奇异吸引 子”系统已经进入混沌状 态 系统最终在一条稳 定 的轨道上运动这是一个 “ 极限环” 系统迭代数十次后 进 入发散状态， 轨道逸出屏 幕 结束语 是目前主流的平面动画软件， 大家比较熟 悉除用于网页制作外， 也可用于数值计算和相图绘 制 其优点是简单易懂， 过程清晰可见， 不足之处是 运行时间稍长( 约需几分钟) 这种方法尤其适合于 数学基础和编程能力都比较欠缺的中学生进行中学 物理与大学物理衔接段的学习 另外， “ 洛伦兹吸引子”提醒我们要极其慎重地 对待地球环境， 轻率地改变它有可能导致难以预料 和无法挽回的后果 参 考 文 献 郝柏林 从抛物线谈起 混沌动力学引论上海 上海 科技教育出版社， 刘正君 科学计算与可视化仿真 北京 电子 工业出版社， 吴明哲， 等 网页高手 程序设计篇 北京 中国铁 道出版社 年第 期 物理通报 教育技术应用