特征多项式的基无关性

设 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是属于F上的n阶矩阵，特征多项式定义为行列式
f A ( λ ) = d e t ( λ I − A ) = ∣ λ − a 11 − a 12 . . . − a 1 n − a 21 λ − a 22 . . . − a 2 n . . . − a n 1 − a n 2 . . . λ − a n n ∣ f_A(λ) = det(λI - A) = \left| \begin{array}{ccc} λ - a_{11}&-a_{12}&...&-a_{1n} \\ -a_{21}&λ - a_{22}&...&-a_{2n} \\ .&.&&.\\ -a_{n1}&-a_{n2}&...&λ-a_{nn} \\ \end{array} \right| fA(λ)=det(λI−A)=∣∣∣∣∣∣∣∣λ−a11−a21.−an1−a12λ−a22.−an2.........−a1n−a2n.λ−ann∣∣∣∣∣∣∣∣
V上的一个线性变换σ关于V上一组基的变换矩阵是A，特征多项式为 f A ( λ ) f_A(λ) fA(λ), 关于另一组基的变换矩阵是B，特征多项式为 f B ( λ ) f_B(λ) fB(λ)，那么 f A ( λ ) = f B ( λ ) f_A(λ)=f_B(λ) fA(λ)=fB(λ).

证明

设矩阵 B = T − 1 A T B = T^{-1}AT B=T−1AT,
f B ( λ ) = d e t ( λ I − B ) = d e t ( T − 1 λ T − T − 1 A T ) = d e t ( T − 1 ( λ I − A ) T ) = d e t ( T − 1 ) d e t ( λ I − A ) d e t ( T ) = f A ( λ ) f_B(λ) = det(λI - B) = det(T^{-1}λT - T^{-1}AT) = det(T^{-1}(λI - A)T) = det(T^{-1})det(λI - A)det(T) = f_A(λ) fB(λ)=det(λI−B)=det(T−1λT−T−1AT)=det(T−1(λI−A)T)=det(T−1)det(λI−A)det(T)=fA(λ)

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特征多项式的基无关性

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