文章目录

二分法
递归
分而治之（D&C，divide and conquer）
贪婪算法
- 背包问题
- 集合覆盖问题
- NP完全问题
动态规划
- 再探背包问题
- 细节补充

二分法

参照二分查找。

递归

递归通俗来讲就是不断调用自身。

递归只是让解决方案更加清晰，并没有性能上的优势。

如果使用循环，程序的性能可能更高；如果使用递归，程序可能更容易理解。

递归有三个基本组成部分，分别是执行的内容（可省略）、基线条件（函数不再调用自己）以及递归条件（函数调用自己）。

int factorial(int x){// 基线条件if (x == 1)return x;// 递归条件elsereturn x * fab(x);
}

递归在使用过程中可能占用大量的内存（调用栈），此时有两种解决方案：

重新编写代码，转而使用循环；
使用尾递归。

分而治之（D&C，divide and conquer）

分而治之策略是递归的，包括了两个过程：

找到基线条件，这种条件必须尽可能简单；
不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。

分而治之是基于递归的，更是一种解决问题的思想，递归偏于解决问题的策略/手段。

以对数组中的数求和为例：

首先，我们需要找到基线条件：数组为空时返回0或者数组只有一个元素时返回该元素；

接着，我们需要对问题进行分解，即每一次递归都将数组的最后一个元素+sum（剩下的元素构成的数组）。因为，传递给sum的数组变得简单了，这也是一种问题规模的缩减。

int sum(vector<int> seq){if seq.empty()return 0;else if (seq.size == 1)element = seq.back();seq.push_back();return element + sum(seq);
}

贪婪算法

贪婪算法的本质：每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局最优解。

并非在任何情况下都行之有效。

背包问题

有一个小偷，只偷最贵的东西，但是他的包只能装下35磅的物品。

此时，在他眼里，有三样物品：

物品	重量/kg	价格/￥
音响	30	3000
笔记本电脑	20	2000
吉他	15	1500

显而易见，按照贪婪算法的要求，小偷无法使自己的利益最大化，即得不到最优解。

集合覆盖问题

问题是：一共有八个州，四个电台，希望能选择尽可能少的电台将这八个周覆盖了。

4个电台就有242^424个集合需要考虑，那么枚举的话，时间为O(2n)O(2^n)O(2n)。

为了加快解题速度，解题思路是：每次都选择覆盖多的。

这是一种近似算法，得到近似解。

#include <iostream>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// 电台信息map<string,vector<string> > stations;stations["kone"] = { "id", "nv", "ut" };stations["ktwo"] = { "wa", "id", "mt" };stations["kthree"] = { "or", "nv", "ca" };stations["kfour"] = { "nv", "ut" };stations["kfive"] = { "ca", "az" };// 初始化// 当前未覆盖的州vector<string> states_needed = { "mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut", "ca", "az"};// 候选电台列表vector<string> final_stations;// 选中电台string best_station;// 选中电台所覆盖的州vector<string> states_covered;// 贪心算法while (!states_needed.empty()) {// 遍历电台，找最优for (auto& s : stations) {// 候选电台与未覆盖州的交集vector<string> covered;sort(states_needed.begin(), states_needed.end());sort(s.second.begin(), s.second.end());set_intersection(states_needed.begin(), states_needed.end(), s.second.begin(), s.second.end(), back_inserter(covered));if (covered.size() > states_covered.size()) {best_station = s.first;states_covered = covered;}}// 记录选中电台final_stations.push_back(best_station);// 删除选中电台stations.erase(best_station);// 删除已经覆盖的州set<string> states_needed_set(states_needed.begin(), states_needed.end());for (auto& s : states_covered)states_needed_set.erase(s);states_needed.assign(states_needed_set.begin(), states_needed_set.end());// 重置best_station = {};states_covered = {};}for (auto& s : final_stations)cout << s << endl;return 0;
}

在写代码的过程中，有以下几个注意点：

一些参与比较，时常更新的值要注意是否每个循环都要初始化；
使用交集算法set_intersection时，需要注意的有：将两个集合排序；通过push_back插入结果，不是赋值；选取支持push_back的容器。

NP完全问题

没有办法判断问题是不是NP完全问题（没有快速算法的问题），但是是有一些蛛丝马迹可循的：

元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变的非常慢；
涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题；
不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题；
如果问题可转化为集合覆盖问题或旅行商问题，则肯定是NP完全问题。

NP完全问题可以通过近似算法得到近似解。

动态规划

再探背包问题

动态规划问题和NP完全问题的目的都是为了找一个最优解，但区别在于，动态规划问题看似是个NP问题，但是其可以分解成小问题。

比如上文我们描述的背包问题。

我们可以先解决子背包问题，再逐步解决原来的问题。

我们设背包承重4磅。吉他1磅，1500美金；音响4磅，3000美金；笔记本电脑3磅，2000美金。

我们首先给出一个网格：

	1	2	3	4
吉他
音响
笔记本电脑

从左到右，表示逐步扩大的背包承重数；从上到下，表示可供选择的物品的增加。

每一格的含义是，在x的承重下，从y（该行及往上的物品）中偷盗物品可以获得的最大金额。

于是，这张表格可以写成：

	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音响	1500	1500	1500	3000
笔记本电脑	1500	1500	2000	3500

该表格的公式为（i表示行，j表示列）：

CELL[i][j]=max⁡(CELL[i−1][j](上一个单元格的值),当前商品的价值+CELL[i−1][j−当前商品的重量])CELL[i][j]=\max(CELL[i-1][j](上一个单元格的值),当前商品的价值+CELL[i-1][j-当前商品的重量])CELL[i][j]=max(CELL[i−1][j](上一个单元格的值),当前商品的价值+CELL[i−1][j−当前商品的重量])
这其实就是一个有约束条件的优化问题，约束条件为背包承重，优化对象为偷盗的钱财。

细节补充

如果再增加一个物品，不过是给这个表格再加一行之后套公式求解；
如果补充了一件0.5磅的物品，那么考虑的粒度更细，我们网格也要更细；
对于商品，只能一整件，不能说偷商品的百分之多少；
每个子问题都是离散的，不存在依赖关系。

设计动态规划模型时的注意：

每种动态规划都涉及网络；
单元格中的值通常是我要优化的值，
每个单元格都是一个子问题，因此你应考虑如何将问题分成子问题。

计算编辑距离的过程也是动态规划的思路！

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