【数学】幂运算与快速幂取余

一、幂运算

1.幂的定义：

$x$ 的幂就是多个 $x$ 相乘，记作 $x^n(n \in \mathbb{R})$ ，表示 $x$ 的 $n$ 次幂，即 $n$ 个 $x$ 相乘，我们把 $x$ 叫做底数， $n$ 叫做指数。

2.幂的运算：

我们可以用公式将幂运算进行简化，公式如下：

$a^{mn} = (a^m)^n$

$a^{m+ n} = a^m\cdot a^n$

$(ab)^m = a^m \cdot b^m$

3.求幂方法：

(1). Python，C++，Java都有专门求幂的系统函数，用法如下：

python

import math
math.pow(底数, 指数)

C++

#include <cmath>
int main() {pow(底数, 指数);
}

Java

public class Main {public static void main(String[] args) {Math.pow(底数, 指数);}
}

(2).快速幂

由 $a^{mn} = (a^m)^n$ 得 $a^m = (a^{\frac 1 2m})^2 (2 \mid m)$ ，所以指数为奇数是要先把奇数转化为偶数，在进行乘方，算法时间复杂度 $O(\log n)$ 。

具体代码如下：

python：

def quickPow(base, n):ans = 1while n > 1:if n % 2 == 1:ans *= basen //= 2base **= 2return ans * base

C++

int quickPow(int base, int n) {int ans = 1;while (n > 1) {if (n & 1) ans *= base;n >>= 2, base *= base;}return ans * base;
}

二、快速幂取余

1.和差积的模运算：

$(a + b) \mod p = (a\mod p + b \mod p) \mod p$

$(a-b)\mod p = (a\mod p - b\mod p) \mod p$

$ab \mod p = (a \mod p \cdot b \mod p) \mod p$

2.快速幂取余：

一般来说，幂的值很大，题目会让你输出模 $p$ 下的值，这是我们要用快速幂取余，我们只需稍微改动快速幂的代码即可实现。

python

def quickPow(base, n, p):base %= pans = 1while n > 1:if n % 2 == 1:ans = ans * base % pn //= 2base **= 2base %= preturn ans * base % p

C++

int quickPow(int base, int n, int p) {long long ans = 1;while (n > 1) {if (n & 1) ans = ans * base % p;n /= 2, base = base * base % p;}return ans * base % p;
}

【数学】幂运算与快速幂取余相关推荐

幂运算（快速幂）Java实现
幂运算(快速幂)Java实现暴力幂运算 Math类下的pow(double a, double b) 快速幂(涉及位运算) 测试暴力幂运算 public static long pow1(int ...
二进制，位运算，快速幂
二进制位运算一,前言二,取整运算三,七种位运算 1,&:与运算,遇0则0 2,|: 或运算,遇1则1. 3,~:取反,0变1,1变0 4,^:异或运算 5, <<<&l ...
mysql 矩阵运算_HDU 2276 Kiki amp; Little Kiki 2 （位运算+矩阵快速幂）
HDU 2276 Kiki Little Kiki 2 (位运算矩阵快速幂) ACM 题目地址:HDU 2276 Kiki Little Kiki 2 题意 : 一排灯,开关状态已知,每过一秒:第i个 ...
HDU 2276 Kiki Little Kiki 2 （位运算+矩阵快速幂）
HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2 (位运算+矩阵快速幂) ACM 题目地址:HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2 题意: 一排灯,开关 ...
二分幂，快速幂，矩阵快速幂，快速乘
前言二分幂,快速幂,矩阵快速幂在算大指数次方时是很高效的. 求 a^n 的值是多少?n是1到10^18次方的一个整数. 求一个数的n次方,朴素的算法就是直接for循环,一遍一遍的乘,a*a*a*a* ...
快速幂或者矩阵快速幂
快速幂或者矩阵快速幂在算大指数次方时是很高效的,他的基本原理是二进制,下面的A可以是一个数也可以是一个矩阵(本文特指方阵),若是数就是快速幂算法,若是矩阵就是矩阵快速幂算法,用c++只需把矩阵设成一个 ...
数论-快速幂、矩阵快速幂、慢速乘
文章目录快速幂矩阵快速幂慢速乘例题 HDU-2817 HDU-3117 XUJC-1395 快速幂首先幂运算 a n a^n an就是 n n n个 a a a相乘,我们可以直接调用库函数 ...
快速幂和矩阵快速幂详解+模板
1.快速幂一般的,我们都知道求只需要连续乘3次2就能得到,那么等于多少呢?其实这个一很简单,不就是13个2相乘吗,连续乘13次2就行了.那么,呢? 是不是要连续乘100次.1000次,我们将这类问题 ...
数论（二）快速幂（矩阵快速幂）等比数列求和最大公因数和最小公倍数
快速幂 1.快速幂用于快速计算a的b次方,时间复杂度是O(log2b) 2.用于a和b比较大小的情况,常用的快速幂是带模快速幂 3.分析一个例子: 3 15=?  15=(1111)2 3e1 * ...

【数学】幂运算与快速幂取余

【数学】幂运算与快速幂取余相关推荐

最新文章

热门文章