树状数组讲解（简洁好懂）

树状数组

树状数组是用于维护前缀和的数据结构，支持单点的查询和修改，如果要修改区间的值则需要用到差分数组。数字太大时可以在排序后进行离散化。

树状数组原理详解：

首先我们需要知道lowbit(x)是返回x的最后一个1，例如二进制数10100就返回100.

树状数组的核心思想是将一个数分解成若干零件，在维护的时候，直接对这些零件进行处理，在查询的时候再将这些零件组装成我们想要的数。

我们先来看看树状数组是如何查询的：

ll query(int p)
{ll ans = 0;for (; p; p -= lowbit(p))ans += f[p];return ans;
}

仔细观察可以发现，查询的过程是将数p进行了二进制分解。

例如：二进制数p为1101，我们就要将它分解为：

1101

1100

1000

分解的方式是减去上一个数的最后一个1

那么，为什么这种分解方式是正确的呢，也就是要证明这些零件包含了p之前前的每一个数，并且值包含一次。

然后我们在观察它的插入过程：

void insert(int p, int k)
{for (; p <= n; p += lowbit(p))f[p] += k;
}

可以发现如下规律：

以4位二进制数为例

从0001到1000的数都会被累加到1000当中

从1001到1100的数都会被累加到1100当中

从1101到1110的数都会被累加到1110当中

1111单独加到1111当中

例如0110->1000，0101->0110->1000，1010->1100

这些1000,1100,1110,1111就是所有的零件，所有的前缀和都可以由他们组合得到，并且不重不漏，他们的特点是加上lowbit后会变成10000，也就是他们最终会统合到10000中，所有小于等于10000的数都会被统计到10000中，所以我们也递归地证明了所有小于等于1000的数会统计到1000当中。加上lowbit操作本质上是产生进位，填补lowbit位后的第一个0，然后把这个0后面的位都变成0，而从0001到0111中，第一位都是0，所以在不断加上lowbit后，一定会到达1000这个数，把值传给他。1001到1011也是一样，第二位总是0，在不断加上lowbit后，一定会把第二位变成1，也就是1100。而1000，1100，1110,1111均可视为01000,01100,01110,01111，他们的第一位也总是0，所以一定会累加到10000当中，也就通过lowbit形成了一棵树，我们称其为树状数组。

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