科大讯飞杯第十七届网络友谊赛部分题解（ABDF）

F 排列组合（差分）

题目描述
天才程序员菜哭武和石头组队参加一个叫做国际排列计算竞赛 (International Competition of Permutation Calculation, ICPC) 的比赛，这个比赛的规则是这样的：

一个选手给出一个长度为 n 的排列，另一个选手给出 m 个询问，每次询问是一个形如 (l, r) 的数对，查询队友给出的排列中第 l 个数到第 r 个数的和，并将查询到的这个区间和加入总分，最后总分最高的队伍就能获胜。

石头手速很快，在比赛一开始就给出了 m 个询问；菜哭武也很强，他总是能找到最合适的排列，使得他们队的总分尽可能高。

在看比赛直播的你看到了石头给出的 m 个询问，聪明的你能不能预测出他们队伍最终的得分呢？

一个排列是一个长度为 n 的数列，其中 1 ~ n 中的每个数都在数列中恰好出现一次。比如 [1, 3, 2] 是一个排列，而 [2, 1, 4] 和 [1, 2, 3, 3] 不是排列。

输入描述:
第一行输入两个数 n (1≤n≤2×105) 和 m (1≤m≤2×105) 。
接下来 m 行，每行输入两个数 l 和 r ，代表这次查询排列中第 l 个到第 r 个的和。

输出描述:
输出一个整数，代表他们队伍总分的最大值。
示例1
input

output

说明

一个符合条件的排列是 [1,3, 6, 4, 7, 5, 2]，
于是最终的得分为 (1 + 3 + 6) + (6 + 4 + 7 + 5 + 2) + (7 + 5) = 46

题解

考场上误以为是线段树而直接放弃，对这样的自己感到悲痛，决定整理一下差分知识点。

差分指的就是原数组后一项和前一项的差

s[5]=5, 4, 3, 9, 6, 1;
a[5]=0,-1,-1, 6,-3,-5;

形如这样的操作得到的数组a[5]就叫差分
同样，我们也有差分前缀和这个概念

s[5]=5, 4, 3, 9, 6, 1;
a[5]=5,-1,-1, 6,-3,-5;
b[5]=5, 4, 3, 9, 6, 1;

b[5]就是差分前缀和，由差分的定义我们知道，差分前缀和数组就是原数组
差分的操作并不难，但是由于疏于练习，我的了解一直停步于以上内容

差分操作的一个应用，就是来解决对一个区间的增减操作（正是本题考点）
正如本题，被操作区间内的差分数组值不变，而区间开头差分值加一，区间下一个元素差分值减一，通过m次操作就完成了数据的修改，可以直接查询最终结果（直接暴力每次操作最大时间复杂度会变成o（mn），超时是必然的）

差分的区间操作只是优化了修改的时间复杂度，对于查询的时间复杂度没有优化，依然为o（n），所以多次查询还是要使用线段树和树状数组（>^<）

附上ac代码，数据范围问题使用long long解决

#include<iostream>
using namespace std;
long long cnt[200001],now,n,m,l,r,out,ans[200001];
int main(){scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&l,&r);cnt[l]++,cnt[r+1]--;}int total=0;for(int i=1;i<=n;i++){total+=cnt[i];ans[i]=total;}sort(ans+1,ans+n+1);for(int i=n;i>=1;i--){out+=ans[i]*i;}cout<<out<<endl;return 0;
}

A 张老师和菜哭武的游戏（数学）

题目描述
天才程序员菜哭武和张老师有一天到一个城市旅游，旅途中菜哭武觉得无聊就想和张老师玩一个游戏。菜哭武有n个石子，每个石子都标有1到n之间到数，且各不相同，一开始他们会随机从这堆石子选一个石子放置到一个集合中，张老师选的数是a，菜哭武选的是b（a和b不相同）。接下来菜哭武和张老师轮流按照如下规则拿走一个石子：当石子x能被拿走时，当且仅当集合存在y和z，满足x等于y+z或者y-z，当x被拿走时，把它放到集合中。谁完成最后一轮操作时，谁获胜。张老师总是先手，于是张老师就好奇当决定好a和b时，他是否总是能获胜，你能帮助一下张老师吗？

输入描述:
第一行一个整数T（1≤T≤500），表示共有T组测试数据。
对于每组测试数据，第一行三个整数n（2≤n≤20000）、a和b（1≤a,b≤n, a≠b）。

输出描述:
若张老师能获胜输出Yes，反之No。

示例1
输入

输出

No
Yes
Yes
No
No
No
Yes
Yes
No
No
Yes
Yes
No
Yes
No
No

题解
对于1-n中的数字，想要被拿出必然有p=xa+by=k*gcd(a,b), 则所有可拿出的数字都为gcd(a,b)的倍数，所以n/gcd(a,b)=ans，即可以拿出的最大次数，当ans为奇数时，共有奇数个可拿出的p，张老师获胜，反之张老师失败，可得出完整算法。

例

10 6 8
可拿出：2 4 6 8 10
10即为最大可拿出的数字，也是最大次数与gcd的乘积

附上ac代码

#include<iostream>
using namespace std;
int n,a,b,t;
int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);
}
int main(){scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);n/=gcd(max(a,b),min(a,b));if(n%2==1) cout<<"Yes\n";else cout<<"No\n";}return 0;
}

B 伤害计算

题目描述
勇士菜哭武获得了一把新的武器，武器有特殊的伤害计算方式。武器的伤害计算方式由若干个部分的和组成,用+号连接。每一部分可以是一个整数a，或者是一个公式ndx。其中a表示固定伤害a点；ndx表示掷n个x面骰子，伤害是所有骰子点数的和。总伤害是每一部分伤害的和。

比如2d6+1d70+3，表示掷两个6面骰子和一个70面骰子（不一定实际存在70面骰子，可以理解成1到70当中随机选择一个整数），再加上固定伤害3点。

他正准备挑选一把好武器，需要计算新武器的伤害期望值，想让你帮他计算一下。

输入描述:
输入一个字符串，表示伤害计算公式。字符串长度不超过5000，对于每一个部分，1≤a, n, x≤1000。a,n,x都是整数。

输出描述:
输出一个数，表示伤害的期望值。如果不是整数，小数点后位数保留最少，即最终结果只有可能是整数或者小数点后是.5的形式，如果不是整数，那么保留一位小数。

输入

1d6+1d70+1d10+6

输出

50.5

直接模拟，可以使用 atoi，也可以手动转换
ac代码

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
string s;
int main(){cin>>s;double ans=0;int t,tt;int len=s.size();for(int i=0;i<len;i++){if(s[i]>='0'&&s[i]<='9') {t=0;while(s[i]>='0'&&s[i]<='9'){t=s[i]-'0'+t*10;i++;}if(s[i]!='d')ans+=t;}if(s[i]=='d'){tt=t;t=0;i++;while(s[i]>='0'&&s[i]<='9'){t=s[i]-'0'+t*10;i++;}ans+=tt*(t+1)/2.0;continue;}if(s[i]=='+') continue;}if(ans-int(ans)==0) printf("%.0lf",ans);//巧妙地判断是否为整数>^<else printf("%.1lf\n",ans);return 0;
}

D 车辆调度

题目描述
张老师设计了一个智能调度系统来控制他的遥控车队，今天，他带着他的车队来到黄渡理工大学的一块空地上测试这个系统。
这块空地可以描述为一个 w * h 大小的长方形，广场上有一些障碍物，几个目标点，当然，还有张老师的车队。
每分钟，调度系统会智能地向其中的一辆遥控车发送以下指令的其中一条：

向北走，直到撞到空地的边界、障碍物或其他遥控车；

向南走，直到撞到空地的边界、障碍物或其他遥控车；

向西走，直到撞到空地的边界、障碍物或其他遥控车；

向东走，直到撞到空地的边界、障碍物或其他遥控车；

每条指令都会在一分钟之内完成，也就是说，空地上最多只有一辆遥控车在运动。此外，当遥控车无法向相应的方向移动时，它会停在原地。

你想知道，在第 k 分钟时，有没有可能有任意一辆遥控车处在任意一个目标点上。

输入描述:
第一行输入三个数字w, h, k (1 ≤ w, h ≤ 10, 1 ≤ k ≤ 5) ,含义在题目描述中已给出。

接下来h行，每行输入一个长度为w的字符串si，其中第i行的第j个字符表示(i, j)位置的状态。

其中，'R’代表该位置初始有一辆遥控车，'X’代表该位置有障碍物，‘D’代表该位置是一个目标点，’.'代表该位置可以正常通过。

数据保证广场上的遥控车不超过4辆。

输出描述:
如果k分钟后有可能有任意一个遥控车处在任意一个目标点上，输出YES,否则输出NO。

输入

6 5 4
.....R
...X..
..D...
....D.
R.R...

输出

YES

看到数据范围我就知道该爆搜了，但是考试看错题了以为是一步一搜写了个bfs果然挂了
dfs以步数为状态搜索，每一步枚举车子和车子前进的方向，加个剪枝（跳出？）优化一下时间，就做出来了
时间复杂度时o（r^kmax(w，h) ）

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct car{int x,y;
}c[5];//其实pair也很好，只是我不习惯...
int vis[12][12],ans,w,h,k,cnt=0;//vis记录车辆位置，cnt是车数，ans是答案标记
char mapp[11][11];//存障碍位置
bool check(int x,int y){if(mapp[x][y]=='X'||vis[x][y]) return 0;else if(x>h||x<1||y>w||y<1) return 0;else return 1;
}
void cmove(car &t,int to){//忘记取地址会死循环，吐啦if(to==1) t.x++;if(to==2) t.x--;if(to==3) t.y++;if(to==4) t.y--;}
void cremove(car &t,int to){if(to==1) t.x--;if(to==2) t.x++;if(to==3) t.y--;if(to==4) t.y++;}
void dfs(int step){if(ans==1) return;if(step==k) return;//天知道我为什么这里一直写了4，debug了半小时才发现应该是kfor(int i=1;i<=cnt;i++){vis[c[i].x][c[i].y]=0;//车会离开原有位置，所以先取消标记car now=c[i],temp=c[i];for(int to=1;to<=4;to++){temp=now;while( check(temp.x,temp.y) ) cmove(temp,to);cremove(temp,to);//每次都走到障碍上才退出循环，所以退一步vis[temp.x][temp.y]=1;if(mapp[temp.x][temp.y]=='D') ans=1;c[i]=temp;dfs(step+1);c[i]=now;vis[temp.x][temp.y]=0;}vis[c[i].x][c[i].y]=1;}}
int main(){scanf("%d%d%d",&w,&h,&k);getchar();for(int i=1;i<=h;i++){for(int j=1;j<=w;j++){mapp[i][j]=getchar();if(mapp[i][j]=='R'){c[++cnt].x=i;c[cnt].y=j;vis[i][j]=1;}}getchar();}dfs(0);if(ans==1) printf("YES\n");else printf("NO\n");return 0;
}