1 二分法

参考：
《算法通关之路》
labuladong的算法小抄

1.1 二分查找

二分查找又称折半搜索算法，狭义来讲，二分查找是一种在有序数组查找某一特定元素的搜索算法；广义来讲，将问题的规模缩小到原有的一半；
二分查找的细节问题很多注意！
术语
- target：要查找的值；
- index：当前位置；
- l和r：左右指针；
- mid：左右指针的中点，用来确定我们应该向左查找还是向右查找的索引；
解空间
解空间：指题目所有可能的解构成的集合；可大不可小
目标：在某个具体情况下判断其具体是哪一个，如果线性枚举所有的可能，枚举部分时间复杂度就为O(n);
实数二分
- 少部分题目的解空间包括小数，会涉及精度问题，例如求一个数x的平方根，答案误差在10-6次方都认为正确，解空间大小定义为[1,x],包括所有区间的实数，不仅仅整数而已，称为实数二分；这个时候有两种变化：
  - 1）更新答案的步长：例如之前的更新是 l = mid + 1，现在可能就不行了，因此这样可能会错过正确解，比如正确解恰好就在区间 [mid,mid+1] 内的某一个小数。
  - 2）判断条件时候考虑误差：由于精度问题，判断结束条件变成与答案的误差在某一个范围内。
序列有序
序列有序中的序列：不一定是数组、链表、有可能是其他数据结构；
有些题目没有有序关键字，比如题目给了数组nums,并且没有限定nums有序，但限定了nums为非负，如果给nums进行前缀和或前缀或（位运算或），可以得到一个有序序列。
一个中心
- 折半才是二分法的灵魂

1.2 查找一个数

1、区间选取问题
- 由于定义的搜索区间为 [left, right]，因此当 left <= right 的时候，搜索区间都不为空，此时我们都需要继续搜索。也就是说终止搜索条件应该为 left <= right。
  
  举个例子容易明白一点。比如对于区间 [4,4]，其包含了一个元素 4，因此搜索区间不为空，需要继续搜索（试想 4 恰好是我们要找的 target，如果不继续搜索，会错过正确答案）。而当搜索区间为 [left, right) 的时候，同样对于 [4,4)，这个时候搜索区间却是空的，因为这样的一个区间不存在任何数字·。

1.2.1 左闭右闭

代码实现

int binarySearch(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右闭区间int left = 0;int right = nums.size()-1;while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] > tagert)right = mid - 1;else if(nums[mid] < target)left = mid + 1;else return mid;}//左闭右闭区间结束，left=right+1 //此时，没有target，返回-1return -1;
}

1.2.2 左闭右开

代码实现

int binarySearch(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右开区间int left = 0;int right = num.size();while(left < right){//此处不同int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target)left = mid + 1;else if(nums[mid > target])rigth = mid;//此处不同else return mid;}return -1;
}

1.3 寻找最左满足条件的边界

说明
- 应该插入的位置，使得插入之后列表仍然有序；
- 另外如果有多个满足条件的值，我们返回最左侧的。比如一个数组 nums: [1,2,2,2,3,4]，target 是 2，我们应该插入的位置是 1
寻找最左，用右边逼近最左边

1.3.1 左闭右闭

代码实现

int leftBound(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右闭区间 --- 精简 --- 合并相等情况int left = 0;int right = nums.size()-1;while(left <= right){int mid = left + ((right - left) >> 1);if(nums[mid] >= target)right = mid - 1;else left = mid + 1;}//结束时，left == right + 1，[right,right+1(left)],需要检查是否越界//left<=right,最大就是right + 1 = nums.size()if(left == num.size() || nums[left] != target)return -1;return left;
}

1.3.2 左闭右开

代码实现

int leftBound(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右开区间 --- 精简 --- 合并相等情况int left = 0;int right = nums.size();while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] >= target)right = mid;else left = mid + 1;}//结束时，[left,right],left == right//target很大，left一直右移if(left == nums.size() || nums[left] != target)return -1;return left;
}

1.4 寻找最右满足条件的边界

1.4.1 左闭右闭

代码实现

int rightBound(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右闭区间int left = 0;int right = nums.size() - 1;while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;//最右，左边逼近if(nums[mid] <= target)left = mid + 1;else right = mid - 1;}//结束时，[right, left],left == right+1;//1、分析返回值，return left - 1 / right;//2、分析越界情况，left->[0,nums.size()],left -1 ->[-1,nums.size()-1]if(left - 1 < 0 || nums[left - 1] != target)return -1;return left - 1;//return right;
}

1.4.2 左闭右开

代码实现

int rightBound(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右开区间int left = 0;int right = nums.size();while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] <= target)left = mid + 1;else right = mid;}if(left - 1 < 0 || nums[left - 1] != target)return -1;//结束时，[left,right]left == right,return left - 1;//return right - 1;
}

为什么返回left/right-1？

最后的判断处理

小结：

1、判断返回值，通过nums[mid] == target情况判断，分析left/right与mid的关系；

2、判断越界，分析left，right的取值范围；

1.5 寻找最左插入位置

找不到不应该返回-1，而是返回应该插入的位置；

1.5.1 左闭右闭

代码实现

void leftInsert(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右闭区间,右边逼近左边int left = 0;int right = nums.size() - 1;while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] >= target)right = mid - 1;else left = mid + 1;}//结束：[right,left(right + 1)],left = right + 1//mid = right + 1 = left//范围：left->[0,nums.size()],不需要进行区间，相等检查return left;//return right + 1;
}

1.5.2 左闭右开

代码实现

void leftInsert(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右开区间，右边逼近左边int left = 0;int right = nums.size();while(left < right){int mid = left + (right -left) / 2;if(nums[mid] >= target)right = mid;else left = mid + 1;}//结束，right = left,[left,right],//mid = right;left->[0,nums.size()]return left;//return right;
}

1.6 寻找最右插入位置

1.6.1 左闭右闭区间

代码实现

void rightInsert(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右闭，左边逼近右边int left = 0;int right = nums.size() - 1;while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] <= target)left = mid + 1;else right = mid - 1;}//结束，[right,left(right + 1)],left = right + 1;//mid = left - 1 = right;left->[0,nums.size()],//left-1 -> [-1,nums.size()-1],注意，是寻找右边插入位置，因此+1    return left;//return right + 1
}

1.6.2 左闭右开区间

代码实现

void rightInsert(vector<int>& nums,int target){//采用左闭右开区间,左边逼近右边int left = 0;int right = nums.size();while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] <= target)left = mid + 1;else right = mid;}//结束，[left,right],left == right, mid = left - 1;//left->[0,nums.size()]return left;//return right;
}

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【二分法】多种情况下的边界条件，区间选择汇总，小结

1 二分法

1.1 二分查找

1.2 查找一个数

1.2.1 左闭右闭

1.2.2 左闭右开

1.3 寻找最左满足条件的边界

1.3.1 左闭右闭

1.3.2 左闭右开

1.4 寻找最右满足条件的边界

1.4.1 左闭右闭

1.4.2 左闭右开

1.5 寻找最左插入位置

1.5.1 左闭右闭

1.5.2 左闭右开

1.6 寻找最右插入位置

1.6.1 左闭右闭区间

1.6.2 左闭右开区间

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