吴恩达深度学习笔记(10)-更多的导数讲解
更多的导数例子(More Derivative Examples)
在这篇笔记中将给出一个更加复杂的例子,在这个例子中,函数在不同点处的斜率是不一样的,先来举个例子:
我在这里画一个函数,f(a)=a^2,如果a=2 的话,那么f(a)=4。
让我们稍稍往右推进一点点,现在a=2.001 ,则f(a)≈4.004 (如果你用计算器算的话,这个准确的值应该为4.004001 我只是为了简便起见,省略了后面的部分),
如果你在这儿点附近画,一个小三角形你就会发现,如果把a往右移动0.001,那么f(a)将增大四倍,即增大0.004。
在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率,称为f(a)在点a=2 处的导数(即为4),
或者写成微积分的形式,当a=2 的时候,
由此可知,函数f(a)=a^2,在a取不同值的时候,它的斜率是不同的,这和上个视频中的例子是不同的。
这里有种直观的方法可以解释,为什么一个点的斜率,在不同位置会不同如果你在曲线上,的不同位置画一些小小的三角形你就会发现,三角形高和宽的比值,在曲线上不同的地方,它们是不同的。
所以当a=2 时,斜率为4;
而当a=5时,斜率为10 。
如果你翻看微积分的课本,课本会告诉你,函数f(a)=a^2的斜率(即导数)为2a。
这意味着任意给定一点a,如果你稍微将a,增大0.001,那么你会看到f(a)将增大2a,即增大的值为点在a处斜率或导数,乘以你向右移动的距离。
现在有个小细节需要注意,导数增大的值,不是刚好等于导数公式算出来的值,而只是根据导数算出来的一个估计值。
为了总结这堂课所学的知识,我们再来看看几个例子:
假设f(a)=a^3 如果你翻看导数公式表,你会发现这个函数的导数,等于3a^2。
所以这是什么意思呢,同样地举一个例子:
我们再次令a=2,所以a^3=8 ,如果我们又将a增大一点点,你会发现f(a)≈8.012, 你可以自己检查一遍,如果我们取8.012,你会发现[2.001]^3 ,和8.012很接近,
事实上当a=2时,导数值为3×2^2,即3×4=12。
所以导数公式,表明如果你将a向右移动0.001时,f(a) 将会向右移动12倍,即0.012。
来看最后一个例子,假设f(a)=log_e a(就是log以自然数e为底,a的函数),有些可能会写作lna,函数loga 的斜率应该为1/a(学过高中数学或者微积分的人应该不陌生)
所以我们可以解释如下:
如果a取任何值,比如又取a=2,然后又把a向右边移动0.001 那么f(a)将增大1/a×0.001,如果你借助计算器的话,你会发现当a=2时f(a)≈0.69315 ;
而a=2.001时,f(a)≈0.69365。所以f(a)增大了0.0005,
如果你查看导数公式,当a=2的时候,导数值d/da f(a)=1/2。
这表明如果你把 增大0.001,f(a)将只会增大0.001的二分之一,即0.0005。
如果你画个小三角形你就会发现,如果x 轴增加了0.001,那么y 轴上的函数loga,将增大0.001的一半 即0.0005。
所以 1/a ,当a=2时这里是 ,就是当a=2时这条线的斜率。这些就是有关,导数的一些知识。
在这个笔记中,你只需要记住两点:
第一点,导数就是斜率,而函数的斜率,在不同的点是不同的。
在第一个例子中f(a)=3a ,这是一条直线,在任何点它的斜率都是相同的,均为3。
但是对于函数f(a)=a^2 ,或者f(a)=loga,它们的斜率是变化的,所以它们的导数或者斜率,在曲线上不同的点处是不同的。
第二点,如果你想知道一个函数的导数,你可参考你的微积分课本或者维基百科,然后你应该就能找到这些函数的导数公式。
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