著名数列及其算法(斐波拉契)

1、斐波那契数列	2、帕多瓦数列
3、卡特兰数	4、Look-and-say 数列
5.递推数列

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1、斐波那契数列
斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，提出时间为1202年。

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…；在数学上，

斐波那契数列以如下被以递归的方法定义：
F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>2，n∈N*)。

方法一：递归方法
function f(n) {
if ( n1 || n2 ){
return 1;
}else{
return f(n-1) + f(n-2);
}
}
console.log(f(6));
方法二：动态规划方法（性能得到优化）
function fibonacci(n) {
let n1 = 1,
n2 = 1,
sum = 1;
for(let i = 3; i <= n; i += 1) {
sum = n1 + n2;
n1 = n2; //往后移动一位数
n2 = sum
}
return sum
}
console.log(fibonacci(5));

2、帕多瓦数列
帕多瓦数列是由帕多瓦总结而出的。
它和斐波拉契数列非常相似，稍有不同的是：每个数都是跳过它前面的那个数，并把再前面的两个数相加而得出的。
它的特点为从第四项开始，每一项都是前面2项与前面3项的和。
即x=（x-2）+（x-3），x为项的序数（x>4）。

帕多瓦数列是：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37，49，65，86，114，151……

3、卡特兰数
卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，

其前几项为（从第零项开始） :
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700,

卡特兰数Cn满足以下递推关系：
设h(n)为catalan数的第n+1项，令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 [2] ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)

5、递推数列
递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列。求递推数列通项公式的常用方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法等共十种方法。

1）等比数列（一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列）
An=A1q（n－1）可以表示为：An=qA(n-1)；

2）等差数列（一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列）
an=a1+(n-1)d

3）等和数列（在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。）
d=an-an-1 （n≥2）

4)大衍数列　0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－
通项式：
an=(n×n－1)÷2 (n为奇数)
an=n×n÷2 (n为偶数)

4、Look-and-say 数列

Look-and-say 数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音。
1983年11月，在英国剑桥大学教书的著名数学家约翰·霍顿·康威(John Horton Conway) 首先发现了Look-and-say的奥秘

如果我们把 1 作为Look-and-say 数列的第一项，那么，它的前几项是这样的：
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

在确定了Look-and-say 数列的第一项之后，就可以根据前一项确定后一项的值了,在上面的示例中，我们把 1 作为此种数列的第一项，那么，就可以这样来推导它的其余项了：

第1个是 1 时,记作 1;
第2个是读前一个数 “2 个1”, 记作 21;
第3个是读前一个数 “1个2, 1个1”, 记作 1211;
第4个是读前一个数 “1个1,1个2,2个1”, 记作 111221;

当 d =22 时，很尴尬的事情发生了，Look-and-say 数列的前几项是：
22, 22, 22, 22,22, …

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