Python制作牛奶冻

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牛奶冻曲线
动图绘制

牛奶冻曲线

牛奶冻大概是下面这种东西，这个Python做不了。但是Python可以绘制更加炫酷的牛奶冻曲线。
牛奶冻曲线(blancmange curve)，因在1901年由高木贞治所研究，又称高木曲线。

在单位区间内，牛奶冻函数定义为

b(x)=∑n=0∞s(2nx)2ns(x)=min⁡n∈N∣x−n∣b(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{s(2^nx)}{2^n}\\ s(x)=\min_{n\in N}|x-n| b(x)=n=0∑∞2ns(2nx)s(x)=n∈Nmin∣x−n∣

分形曲线的轮廓会随着阶数的增多而填充细节，即对于下面的BNB_NBN来说，NNN的变化会增添曲线的自相似特性

BN(x)=∑n=0Ns(2nx)2nB_N(x)=\sum^N_{n=0}\frac{s(2^nx)}{2^n} BN(x)=n=0∑N2ns(2nx)

动图绘制

接下来绘制一下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
s = lambda x : np.min([x-np.floor(x), np.ceil(x)-x],0)
x = np.arange(1000).reshape(-1,1)/1000
N = np.arange(30).reshape(1,-1)      #2^N已经很大了，精度足够
b = np.sum(s(2**N*x)/2**N,1)
plt.plot(b)
plt.show()

其中，lambda表达式表示的就是牛奶冻曲线的生成逻辑，最后得到的曲线如下

牛奶冻曲线是一种典型的分形曲线，即随着区间的不断缩小，其形状几乎不发生什么变化，例如更改自变量的范围，令

x = np.arange(0.25,0.5,1e-3).reshape(-1,1)

最终得到的牛奶冻曲线在观感上是没什么区别的。

接下来绘制一下，当区间发生变化时，牛奶冻曲线的变化过程，可以发现非常明显的分形特性，随着坐标轴的不断细分，曲线的形状几乎不发生变化。

绘图代码如下，其中aniDraw模块的实现可参考：用Python绘制动态变化的曲线

源码地址：Python动态绘制圆锥曲线，并封装成类

from aniDraw import *# 三角波函数
s = lambda x : min(np.ceil(x)-x, x-np.floor(x))
s = lambda x : np.min([x-np.floor(x), np.ceil(x)-x],0)
x = np.arange(1000).reshape(-1,1)/1000
N = np.arange(30).reshape(1,-1)      #2^N已经很大了，精度足够
b = np.sum(s(2**N*x)/2**N,1)fig = plt.figure(figsize=(12,8))
ax = fig.add_subplot()
# n为坐标轴参数
def bcFunc(n):st = 1/3 - (1/3)**ned = 1/3 + (2/3)**nx = np.linspace(st,ed,1000).reshape(-1,1)b = np.sum(s(2**N*x)/2**N,1)return (x,b)line, = ax.plot([],[],lw=1)def animate(n):x,y = bcFunc(n)line.set_data(x,y)plt.xlim(x[0],x[-1])plt.ylim(np.min(y),np.max(y))return line, Ns = np.arange(1,10,0.1)
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, Ns, interval=125, blit=False)
plt.show()