偏微分方程:计算基本理论
1. 偏微分方程
偏微分方程(Partial Differential Equation,简写为PDE)是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。
在物理模型中,最常见的情况是:需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量(视维数变化)。最简单的偏微分方程包括二维稳定问题(只和空间变量x,y有关)和一维传导/波动问题(只和一维空间变量x和时间t有关)。
2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论
一般地,任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式:
$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y}+fu(x,y)+g(x,y)=0$$ 根据二阶项系数,该类型的偏微分方程可以分为以下形式:
$\Delta = b^2-4ac>0\quad \Rightarrow \quad $双曲型(hyperbolic)方程,一般描述能量守恒系统
$\Delta = b^2-4ac=0\quad \Rightarrow \quad $抛物型(parabolic)方程,一般描述耗散系统
$\Delta = b^2-4ac<0\quad \Rightarrow \quad $椭圆型(elliptic)方程,一般描述稳定状态和系统
常见的经典二阶线性偏微分方程:
1) 波动方程:$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{1}{a^2}\nabla ^2 u=f(x,y,z,t)$,一维的波动方程 $\Delta = \frac{1}{a^2}>0$ 属双曲型方程;
2) 热传导方程:$\frac{\partial u}{\partial t}-k\nabla ^2 u = f(x,y,z,t)$,$\Delta = 0$ 属抛物型方程;
3) 泊松方程:$\nabla^2 u = f(x,y,z,t)$ 其齐次形式 $\nabla^2 u = 0$ 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。
3. 初始条件和边界条件
正如常微分方程一样,单独的偏微分方程是不能定解的;需要构成定解问题,还需要初始条件和边界条件的加持:或者需要给出一定个数的初始条件,或者需要给出一定个数的边界条件,或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。
边界条件
边界条件规定了未知量 $u$ 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 $u$ 的偏微分方程的区域关于自变量$x$的边界是$x=x_1$和$x=x_2$(对于二维区域来说,说明该区域夹在两条平行线间;对于三维区域,则夹在两个平面间),那么下式:$$u(x,y)|_{x=x_1}=u_1(y),\quad u(x,y)|_{x=x_2}=u_2(y)$$ 就构成了一组边界条件。
一般地说,边界面的形状记作$\Sigma$,则比如:
1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件(给出未知量取值):$u(x,y)|_{\Sigma}=\phi(x,y)$
2) 第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件(给出未知量的偏导数值):$\frac{\partial u(x,y)}{\partial n}=\psi(x,y)$
3) 第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件(给出未知量取值和偏导数的线性叠加):$\alpha u(x,y)|_{\Sigma} + \beta \frac{\partial u(x,y)}{\partial n} = \gamma(x,y)$
边界条件的类型非常丰富,只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件,一些常用但比较特别的比如:
a) 规定无穷远处未知量$u$为零:$\lim\limits_{r\rightarrow \infty} u(x,y) = 0,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}$;
b) 或者正则条件,给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式:$u(r)\sim \frac 1 r$
b) 规定某点处未知量$u$有界:$u(x_0, y_0)$有界
初始条件
初始条件规定了未知量 $u$ 在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。比如关于独立变量$x,y$的未知量$u(x,y)$:$$u(x,y)|_{x=x_0}=u_0(y), \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=x_0}=f(y)$$ 就构成了初始条件。有时,初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形,实际上也可以理解为一种边界条件,但是初始条件是“单边条件”,即只给出一个变量在一个点的值,而不会给出在整个边界上的信息,因此二者很容易区分。
初始条件得名的原因是,给出初始条件往往是对于时间变量t,其物理意义为初始时刻系统的状态。
转载于:https://www.cnblogs.com/gentle-min-601/p/9922116.html
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