排列组合|分组和分配问题

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前言
模型分析
典例剖析

前言

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模型分析

分组和分配

[题目] 按照下列要求分配 6 6 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

⑴. 分成三份(堆)， 1 1 1 份 1 1 1 本， 1 1 1 份 2 2 2 本， 1 1 1 份 3 3 3 本；

分析：无序不均匀分组问题， C 6 1 × C 5 2 × C 3 3 = 60 C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60 C61×C52×C33=60；

或者相当于先从 6 6 6 本中任取 1 1 1 本 C 6 1 C_6^1 C61 种放成一堆，再从剩余的 5 5 5 本中任取 1 1 1 本 C 5 2 C_5^2 C52 种放成一堆，再从剩余的 3 3 3 本中任取 3 3 3 本 C 3 3 C_3^3 C33 种放成一堆，到此分成了符合要求的三份，事件完成，故有 C 6 1 × C 5 2 × C 3 3 = 60 C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60 C61×C52×C33=60；

⑵. 甲、乙、丙三人中，一人得 1 1 1 本，一人得 2 2 2 本，一人得 3 3 3 本

分析：有序不均匀分组问题，先分组再分配到人手中。

C 6 1 × C 5 2 × C 3 3 × A 3 3 = 360 C_6^1\times C_5^2\times C_3^3\times A_3^3=360 C61×C52×C33×A33=360

⑶. 平均分成三份，每份 2 2 2 本

分析：无序均匀分组问题， C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 A 3 3 = 15 \cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15 A33C62×C42×C22=15

[问题]为什么必须要除以 A 3 3 A_3^3 A33 呢？

解释：先分为三份，则应该是 C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 C_6^2\times C_4^2\times C_2^2 C62×C42×C22 种方法；但是这里出现了重复。不妨记 6 6 6 本书为 A A A、 B B B、 C C C、 D D D、 E E E、 F F F，若第一步取了 A B AB AB ，若第二步取了 C D CD CD ，若第三步取了 E F EF EF ，标记该种分法为 ( A B , C D , E F ) (AB,CD,EF) (AB,CD,EF)，则 C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 C_6^2\times C_4^2\times C_2^2 C62×C42×C22 种方法中还有 ( A B , E F , C D ) (AB,EF,CD) (AB,EF,CD)， ( C D , A B , E F ) (CD,AB,EF) (CD,AB,EF)， ( C D , E F , A B ) (CD,EF,AB) (CD,EF,AB)， ( E F , A B , C D ) (EF,AB,CD) (EF,AB,CD)， ( E F , C D , A B ) (EF,CD,AB) (EF,CD,AB)，共有 A 3 3 A_3^3 A33 种情况，而这 A 3 3 A_3^3 A33 种情况仅仅是 A B , C D , E F AB,CD,EF AB,CD,EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，

故分配分法有 C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 A 3 3 = 15 \cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15 A33C62×C42×C22=15 种。可以类比定序问题理解。

⑷. 平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 2 2 本

分析：有序均匀分组再分配问题， C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 A 3 3 × A 3 3 = 90 \cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}\times A_3^3=90 A33C62×C42×C22×A33=90

或解：先让甲来领取有 C 6 2 C_6^2 C62 种，再让乙来领取有 C 4 2 C_4^2 C42 种，最后让丙来领取有 C 2 2 C_2^2 C22 种，

故有 C 6 2 × C 4 2 × C 2 2 = 90 C_6^2\times C_4^2\times C_2^2=90 C62×C42×C22=90

⑸. 分成三份， 1 1 1 份 4 4 4 本，另外两份每份 1 1 1 本

分析：无序部分均匀分组， C 6 4 × C 2 1 × C 1 1 A 2 2 = 15 \cfrac{C_6^4\times C_2^1\times C_1^1}{A_2^2}=15 A22C64×C21×C11=15，

其中每份 1 1 1 本的这两堆是大小一样，没有顺序的，故需要除以 A 2 2 A_2^2 A22。

⑹. 甲、乙、丙三人中，一人得 4 4 4 本，另外两人每人得 1 1 1 本

分析：有序部分均匀分组再分配问题， C 6 4 × C 2 1 × C 1 1 A 2 2 × A 3 3 = 90 \cfrac{C_6^4\times C_2^1\times C_1^1}{A_2^2}\times A_3^3=90 A22C64×C21×C11×A33=90

⑺. 甲得 1 1 1 本，乙得 1 1 1 本，丙得 4 4 4 本

分析：直接分配问题， C 6 1 × C 5 1 × C 4 4 = 30 C_6^1\times C_5^1\times C_4^4=30 C61×C51×C44=30

或者 C 6 4 × C 2 1 × C 1 1 = 30 C_6^4\times C_2^1\times C_1^1=30 C64×C21×C11=30

备注：其中第⑺问，相当于甲乙丙这三个人依次上来领取一样，

这样的话，“领取”模型就可以同化第⑴、⑷问了。

先分组再分配

①. 3 3 3 个不同的小球分给 3 3 3 个人，每个人至少有一个球的不同分法？

分析：共有 C 3 1 C 2 1 C 1 1 A 3 3 ⋅ A 3 3 = C 3 1 C 2 1 C 1 1 \cfrac{C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}\cdot A_3^3=C_3^1C_2^1C_1^1 A33C31C21C11⋅A33=C31C21C11 ，或者 A 3 3 A_3^3 A33 种不同的放法。

评：整体平均分组。

②. 4 4 4 个不同的小球分给 3 3 3 个人，每个人至少有一个球的不同分法？

分析：共有 C 4 2 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 = C 4 2 A 3 3 \cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=C_4^2A_3^3 A22C42C21C11⋅A33=C42A33 种不同的放法。

评：部分平均分组。

③. 5 5 5 个不同的小球分给 3 3 3 个人，每个人至少有一个球的不同分法？

分析：共有 C 5 3 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 + C 5 2 C 3 2 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 \cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3 A22C53C21C11⋅A33+A22C52C32C11⋅A33 种不同的放法。

评：分类讨论+部分平均分组。

典例剖析

【2017全国卷2理科第6题高考真题】安排 3 3 3 名志愿者完成 4 4 4 项工作，每人至少完成 1 1 1 项，每项工作由一个人完成，则不同的安排方式共有【 \quad 】种。

$A.12$ $B.18$ $C.24$ $D.36$

分析：部分平均分组再分配问题，

可以先将 4 4 4 项工作分成 3 3 3 份 ( 1 个 + 2 个 + 1 个 ) (1个+2个+1个) (1个+2个+1个) 的情形，共有 C 4 2 C 2 1 C 1 1 A 2 2 \cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2} A22C42C21C11 种，

然后将分成的 3 3 3 组工作分配给 3 3 3 个人，有 A 3 3 A_3^3 A33 种，故有 C 4 2 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 = 36 \cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=36 A22C42C21C11⋅A33=36 种。

【2021年高考乙卷理数第 6 6 6题】将 5 5 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 4 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 1 1 个项目，每个项目至少分配 1 1 1 名志愿者，则不同的分配方案共有【 \quad 】种

$A.60$ $B.120$ $C.240$ $D.480$

解析: 从 5 5 5 名志愿者中任选 2 2 2 个分成 1 1 1 组，再从剩余的 3 3 3 名志愿者中任选 1 1 1 个分成 1 1 1 组，再从剩余的 2 2 2 名志愿者中任选 1 1 1 个分成 1 1 1 组，再从剩余的 1 1 1 名志愿者中任选 1 1 1 个分成 1 1 1 组，共有分组数为 C 5 2 C 3 1 C 2 1 C 1 1 A 3 3 = C 5 2 = 10 \cfrac{C_5^2C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}=C_5^2=10 A33C52C31C21C11=C52=10 种方法，然后这 4 4 4 组进行全排列，有 A 4 4 A_{4}^{4} A44种，共有 C 5 2 A 4 4 = 240 C_{5}^{2}A_{4}^{4}=240 C52A44=240 种，故选: C C C .

：安排 3 3 3 名志愿者完成 5 5 5 项工作，每人至少完成 1 1 1 项，每项工作由一个人完成，则不同的安排方式共有多少种？

安排 5 5 5 名毕业生到 3 3 3 个单位实习，则每个单位至少去一名的不同分派方法有多少种？

分析：将工作分配给人： C 5 3 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 + C 5 2 C 3 2 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 = 150 \cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150 A22C53C21C11⋅A33+A22C52C32C11⋅A33=150；

：将 5 5 5 名志愿者分配到 3 3 3 个单位，每个单位至少分配 1 1 1 人，则不同的安排方式共有多少种？

分析：将人分到单位： C 5 3 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 + C 5 2 C 3 2 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 = 150 \cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150 A22C53C21C11⋅A33+A22C52C32C11⋅A33=150；

：将 5 5 5 名志愿者分配到 3 3 3 个单位，每个单位至少分配 1 1 1 人，其中甲同学不能分配到 A A A 宿舍，则不同的安排方式共有多少种？

分析：不考虑甲同学的情形，共有 C 5 3 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 + C 5 2 C 3 2 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 = 150 \cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150 A22C53C21C11⋅A33+A22C52C32C11⋅A33=150种；

其中将甲分配到 A A A 宿舍占总数的 1 3 \cfrac{1}{3} 31，故甲同学不能分配到 A A A 宿舍的不同方式有 150 × ( 1 − 1 3 ) = 100 150\times (1-\cfrac{1}{3})=100 150×(1−31)=100。

在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡村医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两人不能安排在同一个医院，丙、丁两人也不能安排在同一个医院，则不同的分配方法种数为__________。

分析：将五人安排到三所医院，且每所医院至少安排一名医生，则不同的分组方式有 1 + 1 + 3 1+1+3 1+1+3 和 1 + 2 + 2 1+2+2 1+2+2 两种，

当分组方式为 1 + 2 + 2 1+2+2 1+2+2时，用间接法求解，所有的分配方法共有 C 5 3 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 \cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3 A22C53C21C11⋅A33种，

其中不符合题意的有甲乙两人同医院的， C 2 2 ( 选甲乙 ) C 3 2 ( 另三人选一个 ) C 1 1 ( 剩余一人 ) A 3 3 C_2^2(\textbf{选甲乙})C_3^2(\textbf{另三人选一个})C_1^1(\textbf{剩余一人})A_3^3 C22(选甲乙)C32(另三人选一个)C11(剩余一人)A33，

丙丁两人同医院的， C 2 2 ( 选丙丁 ) C 3 2 ( 另三人选一个 ) C 1 1 ( 剩余一人 ) A 3 3 C_2^2(\textbf{选丙丁})C_3^2(\textbf{另三人选一个})C_1^1(\textbf{剩余一人})A_3^3 C22(选丙丁)C32(另三人选一个)C11(剩余一人)A33，

在这其中多算了甲乙同医院且丙丁同医院的情形 A 3 3 A_3^3 A33，

故共有 C 5 3 C 2 1 C 1 1 A 2 2 ⋅ A 3 3 − ( 2 C 3 2 A 3 3 − A 3 3 ) = 90 − 30 = 60 \cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3-(2C_3^2A_3^3-A_3^3)=90-30=60 A22C53C21C11⋅A33−(2C32A33−A33)=90−30=60；

当分组方式为 1 + 1 + 3 1+1+3 1+1+3时，用直接法求解，从甲乙两人中选一个 C 2 1 C_2^1 C21，从丙丁两人中选一个 C 2 1 C_2^1 C21，将剩余的三人自然合成一组共三组，再分配有 A 3 3 A_3^3 A33，故共有 C 2 1 C 2 1 A 3 3 = 24 C_2^1C_2^1A_3^3=24 C21C21A33=24；

综上所述，共有 N = 60 + 24 = 84 N=60+24=84 N=60+24=84种。