第六节-列空间与零空间

概述

上一节我们讲到了向量空间概念，向量空间是由一些对数乘和求和计算封闭的向量组成，也等价于对向量的线性组合封闭，我们这里可以用以下定义：
对于向量空间中的任意向量 v v v和向量 w w w， c v + d w ( c 、 d ∈ R ) cv+dw(c、d ∈ R) cv+dw(c、d∈R) 都属于向量空间。
我们还了解了向量空间的子空间，他是属于母空间的一些向量的集合，并且其自身也构成向量空间。例如对于空间向量 R 3 R^3 R3，一条通过原点的直线，记作 L L L以及一个通过原点的平面，记作 P P P，都是 R 3 R^3 R3的子空间。

我们思考下面的问题，两个子空间的并集是否还是向量空间？两个子空间的交集是否还是向量空间？针对上面的例子就是 P ∪ L P∪L P∪L和 P ∩ L P∩L P∩L。

并集：显然并不是向量空间，假设有向量 v ∈ P v∈P v∈P， v ∉ L v\notin L v∈/L，向量 w ∈ L w∈L w∈L， w ∉ P w\notin P w∈/P，则向量 v v v和向量 w w w不在一个向量空间中，其线性组合也不封闭
交集：是一个向量空间，取任意向量 v ∈ P ∩ L v∈P∩L v∈P∩L， w ∈ P ∩ L w∈P∩L w∈P∩L，则向量 v v v和向量 w w w都在 P P P或者 L L L这个向量空间中，其线性组合也必然封闭

本节重点关注两类子空间，一类是矩阵的列空间，一类是矩阵的零空间。

列空间

上节我们讲到矩阵 A A A的列空间是由矩阵中的列向量的线性组合构成的子空间，如对于矩阵 A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡123411112345⎦⎥⎥⎤就是向量空间 R 4 R^4 R4的子空间，记作 C ( A ) C(A) C(A)。
任何抽象都是为了解决现实问题，接下来我们将其与求解线性方程组联系起来，深刻认识 A x = b Ax=b Ax=b，思考以下问题

方程 A x = b Ax=b Ax=b是否对于任意 b b b是否都有解？
什么样的 b b b对于方程有解？

[ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{array}\right] ⎣⎢⎢⎡123411112345⎦⎥⎥⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎢⎢⎡b1b2b3b4⎦⎥⎥⎤
显然对于4个方程组，3个未知数的情况下可能是无解的，因为3个向量的线性组合无法覆盖整个 R 4 R^4 R4，或者说存在很多向量无法通过这三个向量的线性组合得到。相反的，能通过列向量的线性组合得到的向量有解。所以我们的结论是：方程组 A x = b Ax=b Ax=b有解，当且仅当向量 b b b属于矩阵 A A A的列空间。

零空间

列空间关注的是 b b b的取值，而零空间关注 x x x的解。零空间是包含了所有向量 [ x 1 x 2 x 3 ] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right] ⎣⎡x1x2x3⎦⎤，使得 A x = 0 Ax=0 Ax=0成立的所有解。记作 N ( A ) N(A) N(A)。
在这个例子里，零空间包含的向量有哪些呢？比如 [ 0 0 0 ] \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right] ⎣⎡000⎦⎤、 [ 1 1 − 1 ] \left[\begin{array}{ccc}1\\1\\-1\end{array}\right] ⎣⎡11−1⎦⎤、 [ 2 2 − 2 ] \left[\begin{array}{ccc}2\\2\\-2\end{array}\right] ⎣⎡22−2⎦⎤…，可以表示为 [ c c − c ] ( c ∈ R ) \left[\begin{array}{ccc}c\\c\\-c\end{array}\right](c∈R) ⎣⎡cc−c⎦⎤(c∈R)。可见这是三维空间内通过原点的一条直线。
接下来我们来证明零空间是一个向量空间，即 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解总是构成一个子空间。假设向量 v v v、向量 w w w是方程组的解，如果能证明 v v v与 w w w的线性组合也是方程组的解即可，推倒过程如下：
A ( c v + d w ) = c A v + d A w = 0 A(cv+dw) = cAv+dAw=0 A(cv+dw)=cAv+dAw=0
得证！这里用到矩阵乘法的分配律。
那么如果将 b b b改为非零向量，这里假设 x x x存在解，比如以下情况：
[ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 1 2 3 4 ] \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&3\\3&1&4\\4&1&5\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\3\\4\end{array}\right] ⎣⎢⎢⎡123411112345⎦⎥⎥⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎢⎢⎡1234⎦⎥⎥⎤
这些解是否构成子空间呢？显然不是，因为零向量不是方程的解。在本例中这是一条不通过原点的直线。

总结一下，本节主要讲了两种构建子空间的方法，列空间是通过列向量的线性组合来构建，而零向量是通过求解方程组的方式，让向量满足某些特定条件来构建。

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