算法 | 详解斐波那契数列问题

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本篇是学习了《趣学算法（第2版）》第一章之后总结的。

上一篇讲到了等比数列求和问题，求Sn=1+2+22+23+...+263=？S_n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{63}= ？Sn=1+2+22+23+...+263=？，该函数属于爆炸增量函数，如果采用常规运算，则要考虑算法的时间复杂度。

算法时间复杂度

常见的算法时间复杂度有以下几类。

常数阶。
常数阶算法的运行次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法的时间复杂度通常用O(1)表示。
多项式阶。
很多算法的时间复杂度是多项式，通常用 0(n)、O(n2)O(n^2)O(n2)、0(n3)0(n^3)0(n3)等表示。
指数阶。
指数阶算法的运行效率极差，程序员往往像躲“恶魔”一样避开这种算法。指数阶算法的时间复杂度通常用O(2n)O(2^n)O(2n)、O(n!)O(n!)O(n!)、O(nn)O(n^n)O(nn)等表示。
对数阶。
对数阶算法的运行效率较高，通常用O(logn)O(logn)O(logn)、O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)等表示。
指数阶增量随着的增加而急剧增加，而对数阶增长缓慢。它们之间的关系如下：

O(1)＜O(logn)＜O(n)＜O(nlogn)＜O(n2)＜O(n3)＜O(2n)O(n!)＜O(nn)O(1)＜O(logn)＜O(n)＜O(nlogn)＜O(n^2)＜O(n^3)＜O(2^n)O(n!)＜O(n^n)O(1)＜O(logn)＜O(n)＜O(nlogn)＜O(n2)＜O(n3)＜O(2n)O(n!)＜O(nn)

在设计算法时，我们要注意算法复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增量。

算法知识点

斐波那契数
动态规划（拆分子问题；记住过往，减少重复计算）

算法题目

假设第1个月有1对初生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生
1对兔子，兔子永不死去……那么，由1对初生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

做题思路

这个数列有如下十分明显的特点：从第3个月开始，当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数，而当月新生兔子数=上上月的兔子数当月新生兔子数=上上月的兔子数当月新生兔子数=上上月的兔子数。因此，前面相邻两项之和便构成后一项，换言之：
当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数

斐波那契数如下：

1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8， 13 ，21 ，34 ......

递归表达式

F(n)={1，n=11，n=2F(n−1)+F(n−2)，n>2F(n)= \begin{cases} 1&， \text{n=1}\\ 1&， \text{n=2}\\ F(n-1) + F(n-2)&， \text{n>2} \end{cases}F(n)=⎩⎨⎧11F(n−1)+F(n−2)，n=1，n=2，n>2

根据递归表达式，初步的算法代码如下：

const fbn = (n) => {if (n == 1 || n == 2) {return 1} else {return fbn(n-2) + fbn(n-1)}
}

让我们看一下上面算法的时间复杂度，也就是计算的总次数T(n)T(n)T(n)

时间复杂度

时间复杂度算的是最坏情况下的时间复杂度

n=1时，T(n)=1
n=2时，T(n)=1；
n=3时，T(n)=3; //调用Fib1(2)和Fib1(1)并执行一次加法运算(Fib1(2)+Fib1(1))

当n>2时需要分别调用fbn(n-1)和fbn(n-2)，并执行一次加法运算，换言之：
n>2时，T(n)=T(n−1)+T(n−2)+1;n\gt2时，T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1;n>2时，T(n)=T(n−1)+T(n−2)+1;

所以，T(n)>=F(n)T(n) >= F(n)T(n)>=F(n)

问题来了，怎么判断T(n)属于算法时间复杂度的哪种类型呢？

方法一：

画出递归树，每个节点表示计算一次

一棵满二叉树，节点总数就和树的高度呈指数关系

递归树 F(n)里面存在满二叉树，所以时间复杂度是指数阶的。

方法二：

使用公式进行递推

因为时间复杂度算的是最坏情况下的时间复杂度，所以计算第一个括号内的即可

即：T(n)=O(2n)T(n) = O(2^n)T(n)=O(2n)，时间复杂度是指数阶的

算法改进

降低时间复杂度

不难发现：上面基于递归表达式的算法，存在大量的重复计算，增大了算法的时间复杂度，所以我们可以做出如下改进，以减少时间复杂度

// 利用数组记录过往的值，直接使用，避免重复计算
const fbn2 = (n) => {let arr = new Array(n + 1); // 定义 n + 1 长度的数组arr[1] = 1;arr[2] = 1;for (let i = 3; i <= n; i++) {arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]}return arr[n]
}

很显然上面算法的时间复杂度是O(n)O(n)O(n)，时间复杂度从指数阶降到了多项式阶。

由于上面算法使用数组记录了所有项的值，所以，算法的空间复杂度变成了O(n)O(n)O(n)，我们可以继续改进算法，来降低算法的空间复杂度

降低空间复杂度

采用临时变量，来迭代记录上一步计算出来的值，代码如下：

const fbn3 = (n) => {if (n === 1 || n === 2) {return 1;}let pre1 = 1 // pre1，pre2记录前面两项let pre2 = 1let tmp = ''for (let i = 3; i <= n; i++) {tmp = pre1 + pre2 // 2pre1 = pre2 // 1pre2 = tmp // 2}return pre2
}

使用了三个辅助变量，时间复杂度还是O(n)O(n)O(n)，空间复杂度降为O(1)O(1)O(1)

测试算法计算时间

// 斐波那契数列
// 1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8， 13 ，21 ，34 ......const fbn = (n) => {if (n == 1 || n == 2) {return 1} else {return fbn(n-2) + fbn(n-1)}
}
console.time('fbn')
console.log('fbn(40)=', fbn(40))
console.timeEnd('fbn')// 利用数组记录过往的值，直接使用，避免重复计算
const fbn2 = (n) => {let arr = new Array(n + 1); // 定义 n + 1 长度的数组arr[1] = 1;arr[2] = 1;for (let i = 3; i <= n; i++) {arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]}return arr[n]
}console.time('fbn2')
console.log('fbn2(40)=', fbn2(40))
console.timeEnd('fbn2')const fbn3 = (n) => {if (n === 1 || n === 2) {return 1;}let pre1 = 1 // pre1，pre2记录前面两项let pre2 = 1let tmp = ''for (let i = 3; i <= n; i++) {tmp = pre1 + pre2 // 2pre1 = pre2 // 1pre2 = tmp // 2}return pre2
}console.time('fbn3')
console.log('fbn3(40)=', fbn3(40))
console.timeEnd('fbn3')

测试结果如下：

fbn(40)= 102334155
fbn: 667.76ms
fbn2(40)= 102334155
fbn2: 0.105ms
fbn3(40)= 102334155
fbn3: 0.072ms

小结

能不能继续降阶，使算法的时间复杂度更低呢？
实质上，斐波那契数列的时间复杂度还可以降到对数阶O(logn)O(logn)O(logn)，好厉害!!!后面继续探索吧

我是 甜点cc

热爱前端，也喜欢专研各种跟本职工作关系不大的技术，技术、产品兴趣广泛且浓厚，等待着一个创业机会。本号主要致力于分享个人经验总结，希望可以给一小部分人一些微小帮助。

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